양자 센서 (Quantum Sensor) 편집하기

Hiro (토론 | 기여)님의 2021년 8월 30일 (월) 10:16 판

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= 양자 센싱 (Quantum Sensing) =

양자 센싱은 다음의 세가지 센싱 방식을 포함한다. 1) 에너지 준위 등 양자화 된 물리량을이용해 물리적인 값을 측정한다. 2) [[양자 결맞음]]을 이용하여 물리적인 값을 측정한다. 3) [[양자 얽힘]] 등의 성질을 이용해 고전 센싱보다 민감도와 정확도를 올려준다.<ref name=Degen>Degen, C. L., Reinhard, F., Cappellaro, P. (2017), “Quantum sensing”, ''Reviews of Modern Physics'', 89(3) : 035002.</ref>

양자 센서는 다음 4가지 조건을 만족해야 한다.<ref name=DiVinceenzo>DiVinceenzo, D. P. (2000), “The physical implementation of quantum computation”, Fortschritte der Physik: Progress of Physics, 48(9-11) : 771.</ref> 1) 양자 시스템의 에너지 준위가 양자화 되어 있으며 2) 특정 상태로 만들거나 읽을 수 있어야 하며 3) 일관되게 조작할 수 있어야 하며 4) 전기장이나 자기장과 같은 물리적인 조건과 상호작용을 할 수 있어야 한다.

양자 센서에 대한 해밀토니안은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\[H(t)= H_{0} + H_{V}(t) + H_{\text{control}}(t)\]

$$H_{0}$$는 원래 시스템이 가지고 있는 해밀토니안이고 이를 알고 있다고 가정한다. $$H_{\text{control}}(t)$$는 양자 센서 조작을 위한 해밀토니안이다. 궁극적으로 센싱 Hamiltonain $$H_{V}(t)$$을 통해 포텐셜 $$V(t)$$를 검출하는 것이 양자 센서의 목표이다. 이를 도출하기 위한 일반화된 센싱 프로토콜은 다음과 같다.

1) 센서를 $$\left| \left.  0 \right\rangle \right. $$으로 초기화를 해준다.

2) 해밀토니안 조작을 통해 $$H_{\text{control}}\left( t_{0} \right)$$을 합당한 시간동안 켰다 꺼서, 시간 변화 유니테리 연산이 수행되어 원하는 상태로 준비한다. 즉, $$\left| \left.  \psi_{0} \right\rangle \right.= U(t)\left| \left.  0 \right\rangle \right. .$$

3) 양자 센서를 특정 시간 $$t$$동안 센싱하도록 킨다. 이에 따라 센싱 해밀토니안 $$H_{V}(t)$$에 의한 시간 변화 유니테리 연산이 수행되며 센서의 상태는 $$\left| \left.  \psi(t) \right\rangle \right.= c_{0}\left| \left.  \psi_{0} \right\rangle \right.  + c_{1}\left| \left.  \psi_{1} \right\rangle \right. $$ 이 된다.

4) 2)번에서 수행한 유니테리 연산($$U(t)$$)을 역으로 되돌려, 즉 $$\left| 0 \right\rangle= U^{\dagger}(t)\left| \psi_{0} \right\rangle$$ 그리고 $$\left| 1 \right\rangle =U^{\dagger}(t)\left| \psi_{1} \right\rangle$$로 되돌려준다. 그러면, $$U^{\dagger}(t)\left| \left.  \psi(t) \right\rangle \right.= c_{0}^{'}\left| \left.  0 \right\rangle \right.  + c_{1}^{'}\left| \left.  1 \right\rangle \right. $$ 상태가 된다.

5) 측정기저 $$\left| 0 \right\rangle$$과 $$\left| 1 \right\rangle$$로 측정을 수행하고 그 결과를 기록한다.

6) 1)~5)을 ''N''번 반복하여 베르누이 과정을 통해 전이 확률을 추정할 수 있다.

7) 시간에 따른 전이 확률을 통해 원하는 신호를 추론할 수 있다.

다음은 정적인 신호를 측정하는 대표적인 방법인 라비 측정(Rabi measurement)과 람지 측정(Ramsey measurement) 두 가지와 동적인 신호를 측정하는 동적 디커플링, 그리고 양자 센서가 가지는 내재적인 요인들을 소개한다.

= 라비 측정 (Rabi Measurement) =

첫 번째 예제인 라비 측정은 다음과 같은 프로토콜을 따른다. 1) 양자 센서를 초기화 한다. 즉, 양자 상태 $$\left| 0 \right\rangle$$에 있도록 준비한다. 라비 측정의 경우 특정 상태를 만들 필요는 없기에 과정 2) 와 4)는 생략한다. 3) ''t''초 동안 외부 포텐셜 해밀토니안 $$H_{V}(t)$$을 켜준다. 5) 측정을 통해 전이 확률 $$p= \left| c_{1}^{'} \right|^{2}$$를 구한다. 이때 $$p =\frac{w_{1}^{2}}{w_{1}^{2} + w_{0}^{2}}{ \sin^{2}}\left( \sqrt{w_{1}^{2} + w_{0}^{2}t} \right)$$임이 알려져 있다.<ref name=sakurai>Sakurai, J.J., & Napolitano, J. (1994), Modern Quantum Mechanics, Addison-Wesley. Reading, Massachusetts.</ref> 이를 통해 전이 포텐셜의 정보와 공명 주파수를 알 수 있다.

= 람지 측정 (Ramsey Measurement) =

두 번째 예제인 람지 측정은 다음과 같은 프로토콜을 따른다. 1) 양자 센서를 초기화 한다. 2) $$\frac{\pi}{2}$$ pulse를 가해서 양자 상태 $$\left| \psi_{0} \right\rangle$$에 있도록 준비한다. 3) ''t''초 동안 외부 포텐셜을 제거한 $$H_{0}$$ 해밀토니안을 가한다. 4) 다시 $$\frac{\pi}{2}$$를 가한다. 5) 측정을 한다. 이 때 전이 확률은 $$p= \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \cos\left( w_{0}t \right) \right\rbrack$$이다. 이 과정들을 반복하여 전이 확률을 구하면 역으로 두 상태의 에너지 차이인 $$w_{0}$$를 알 수 있다.

위의 과정을 이용하면 외부의 신호를 측정할 수 있다. 외부 신호 검출은 전이 확률의 변화를 통해 이루어진다. 그림 1은 전이 확률과 포텐셜 변화이 보이는 관계의 예시이다. 확률 변화가 가장 크게 일어나는 곳은 전이 확률이 0.5일 때이므로 이 때를 기준으로 잡아 전이 확률의 변화량을 측정함으로써 포텐셜의 변화량을 측정할 수 있으며 이 경우를 경사 측정이라 한다. 다음은 포텐셜 변화량 $$\delta V$$에 따른 전이 확률 변화 $$\delta p$$에 대한 식이다.

\[\delta p= - \frac{1}{2}\cos\left( w_{0}t + \text{γδ}\text{Vt} \right) \sim \frac{1}{2}\text{γδ}\text{Vt}\]

하지만 포텐셜이 주기적으로 또는 랜덤하게 변해서 변화량의 평균이 0이라면 경사 측정으로는 구별할 수 없을 것이다. 이 경우에는 분산 측정을 이용해야 한다. 분산 측정의 경우 그림 2와 같이 기울기가 0에 가까운 점에서 평균값을 구한다. 그러면 전이 확률의 차이는 0이 되지 않는다. 또한 전이 확률이 0 근처에서 전이 확률은 포텐셜의 제곱에 비례하므로 $$\left\langle \delta V^{2} \right\rangle= V_{\text{rms}}^{2}$$ <ref name=Meriles>Meriles, C. A., Jiang, L., Goldstein, G., Hodges, J. S., Maze, J., Lukin, M. D., & Cappellaro, P. (2010), “Imaging mesoscopic nuclear spin noise with a diamond magnetometer”, The Journal of Chemical Physics, 133(12) : 124105.</ref>를 이용하면 전이 확률이 0인 점을 기준으로 $$V_{\text{rms}}$$를 얻을 수 있을 것이다.

\[\delta p= \left\langle \frac{1}{2}\left( 1 - \cos\left( w_{0}t + \gamma\delta Vt \right) \right) \right\rangle \sim \frac{1}{4}\gamma^{2}V_{\text{rms}}^{2}t^{2}\]

[[File:양자 기술백서_image29.png|none|thumb|500px|그림 1. 외부 포텐셜과 전이 확률의 모식도. 빨간색 점은 전이 확률 0.5에서 경사 측정시 $$\text{δp}$$의 값을 보여주며 파란색 점은 전이 확률 0에서 분산 측정시 $$\text{δp}$$의 값을 보여준다.<ref name=Degen>Degen, C. L., Reinhard, F., Cappellaro, P. (2017), “Quantum sensing”, ''Reviews of Modern Physics'', 89(3) : 035002.</ref>]]

= 노이즈 (Noise) =

측정 값에는 항상 노이즈가 발생할 수 있기 때문에 시스템에서 발생할 수 있는 노이즈가 무엇이 있는지 아는 것은 중요하다. 또한 궁극적으로 노이즈 정보를 통해 SNR (Signal to Noise Ratio)과 이를 통해 시스템의 민감도를 정량적으로 표현하는 최소 측정 가능한 신호를 구할 수 있을 것이다. 다음은 발생할 수 있는 네 가지 대표적인 노이즈 발생 요인들이다.

첫째는 가장 큰 요인 중 하나는 양자 투영 노이즈이다. 양자 시스템은 전이 확률을 구할 때 ''N''번 반복하여 통계를 낸다. 이때 통계를 내는 과정에서 표본 개수 $$N$$이 무한이 아닌 유한이기 때문에 통계 요동(statistical fluctuation)이 발생하고 이에 따라 노이즈가 뒤따라온다. 이항 분포에 따르면 분산 $$\sigma^{2}= \frac{1}{N}p(1 - p)$$ 만큼의 통계적인 노이즈가 발생한다. 예를 들어 람지 선형 측정에서는 $$p =0.5$$이기에 $$\sigma^{2}= \frac{1}{4N}$$ 만큼의 노이즈가 발생한다.

두번째는 측정 시간 동안 발생하는 [[결어긋남(decoherence)]]와 이완(relaxation)이다. 이 둘은 무작위로 위상과 상태를 변화시킴으로써 노이즈가 생성된다. 따라서 이전에 측정했던 전이 시간 차이가 시간에 따라 지수적으로 감소한다.

\[\delta p_{\text{obs}}= \delta p(t)e^{- \chi(t)}\]

세번째로는 상태의 초기화와 [[큐비트]] 조작에 의한 노이즈이다. 완벽하게 초기화와 [[큐비트]] 조작이 어렵기 때문에 발생할 수 있는 노이즈이다. 하지만 [[결어긋남]]과는 다르게 측정시간에는 무관하다는 특징을 가진다.

\[\delta p_{\text{obs}}= \beta\delta p\]

마지막은 측정 도중 발생하는 에러이다. 결과값에 측정된 노이즈에 따라 크게 단일샷 방법과 평균 측정 방법이 있다.<ref name=Degen>Degen, C. L., Reinhard, F., Cappellaro, P. (2017), “Quantum sensing”, ''Reviews of Modern Physics'', 89(3) : 035002.</ref> 단일샷 방법은 그림 2 (b)와 같이 측정값이 두 값으로 구분할 수 있을 만큼 서로 몰려 있어 기준값을 잡아 결과값을 구분 짓는다. 그림 2 (a)와 같이 이상적인 경우와 비교했을 때 겹치는 부분이 생길 수 있어 이에 따른 측정 노이즈가 발생할 수 있다. $$\kappa_{i}$$는 기준값을 잡아 측정했을 때 부분적으로 포함되지 않는 영역을 의미한다.

\[\sigma_{\text{read}}^{2}= \frac{1}{N}\lbrack\kappa_{0}\left( 1 - \kappa_{0} \right)p + \kappa_{1}(1 - \kappa_{1})(1 - p)\rbrack\]

\[\sigma_{\text{read}}^{2}\sim\frac{\kappa}{N}\]

\[p= \frac{x - x_{|0 >}}{x_{|1 >} - x_{|0 >}}\]

\[\sigma_{\text{read}}^{2}= \frac{R^{2}}{4N}, R =\frac{2\sqrt{N}\sigma_{x}}{|x_{|1 >} - x_{|0 >}|}\]

[[File:양자 기술백서_image30.png|none|thumb|500px|그림 2. (a) 이상적인 측정인 경우 두 값만이 히스토그램에 나타난다. (b) 싱글샷을 사용하는 경우 기준값 부근에 겹치는 영역이 노이즈가 된다. (c) 첨두치가 하나가 나오는 경우 평균측정법을 이용해 전이확률을 구한다.<ref name=Degen>Degen, C. L., Reinhard, F., Cappellaro, P. (2017), “Quantum sensing”, ''Reviews of Modern Physics'', 89(3) : 035002.</ref>
]]

= 민감도 (Sensitivity) =

시스템의 민감도란 특정 SNR을 갖는 특정 출력 신호를 생성하는데 필요한 최소 입력 신호를 의미한다. 양자 센싱에서 SNR(Signal to Noise Ratio)는 아래와 같이 정의되며 노이즈에서 얻었던 값을 대입해보면 다음과 같다.

\[SNR= \frac{\delta p_{\text{obs}}}{\sigma} =\delta p(t)e^{- \chi(t)}2C\sqrt{N}\]

[[람지 측정]]의 결과를 보면 $$\delta p= \left( \gamma\text{δV}_{\text{rms}} \right)^{q}$$이며 $$q$$에 따라 경사 측정, 분산 측정이 나눠진다. 또한 측정 횟수를 의미하는 $$N$$은 전체 시간 $$T$$에서 측정과 준비를 포함한 시간으로 나눈 것이므로 $$\frac{T}{t + t_{m}}$$과 같다. 이를 종합해 보면 아래와 같다.

\[SNR= \left( \text{γtδV} \right)^{q}e^{- \chi(t)}2C\sqrt{\frac{T}{t + t_{m}}}\]

$$ T= 1$$초동안 단위 SNR에서 최소 측정 가능한 신호는 아래와 같이 쓸 수 있다.

\[v_{\min}^{q} \propto \frac{e^{\chi(t)}\sqrt{t + t_{m}}}{2C(t_{m})\gamma^{q}t^{q}}\]

이 결과를 통해 민감도가 좋은 센서는 다음 조건을 만족해야 한다. 측정 시간은 길수록 좋지만 $$e^{\chi(t)}$$값이 급격히 증가하는 값인 $$e^{\chi(t)}$$의 시간 상수 보다 커지면 안된다. 둘째로 측정 효율 $$C(t_{m})$$은 측정 시간($$t_{m}$$)과 연관되며 측정 효율에 따라 최적의 측정시간을 정할 수 있다. 마지막으로 측정 효율은 실험을 최적화하거나 다른 양자 센싱에 따라 증가될 수 있다.

= 동적 디커플링 (Dynamical Decoupling) =

지금까지는 시간 변화가 없는 정적인 신호에 대한 측정이었지만 시간에 의존적인 신호 역시 측정할 수 있다. 신호가 아래와 같은 신호라 가정하겠다. 이러한 신호의 측정은 람지 위상이라는 것을 이용해 측정한다.

\[V\left( t^{'} \right)= V_{\text{pk}}\cos\left( 2\pi f_{\text{ac}}t^{'} + \alpha \right)\]

\[ \phi= \int_{0}^{t}{\gamma V(t')dt'} \]

[[람지 측정]]의 경우 느리게 변화하는 경우 람지 위상 정보가 남아 있을 수 있다. 하지만 빠르게 변화하는 신호의 경우 위상이 상쇄 간섭에 의해 평균을 취하면 위상 정보가 0에 가까워진다. 또는 측정시간동안 진동의 주기만큼 지난다면 람지 위상은 0이 될 것이다. 다른 시도로는 람지 측정 도중에 $$\pi$$펄스파를 넣어보는 것이다. 그림 3 (b) 과 같이 $$\pi$$ 펄스파를 측정 시간의 정중앙에 두는 과정을 스핀 에코 시퀀스라 하며, 이 경우에는 람지 위상은 $$\phi= \frac{2}{\pi}\gamma V_{\text{pk}}t\cos\alpha$$ 이다. 여기서 아이디어를 착안하여 다중 펄스를 이용하면 더 많은 정보를 알아낼 수 있다. 다중 펄스를 이용했을 때 람지 위상은 다음과 같이 표현할 수 있다. 이 때 $$W$$는 펄스의 배치에 따라 바뀌는 가중치함수이다.

\[\phi= \gamma V_{\text{pk}}tW(f_{\text{ac}},\alpha)\]

다중 펄스 시퀀스의 대표적인 예는 CP(Carr-Purcell)학습과 PDD(Periodic Dynamic Decoupling)이다. CP학습은 그림 3 (c) 과 같이 같이 $$t_{j}= \frac{2j - 1}{2}$$에 펄스파를 두는 방법이고 PDD 방식은 그림 3 (d) 과 같이 $$t_{j} =\text{jτ}$$에 펄스파를 두는 방법이다. 이 두가지 방법의 장점은 파라미터를 조정할 수 있다는 점이다. 또한 신호의 주파수, 결어긋남, $$T_{1}$$, $$T_{2}$$ 이완 등 다양한 정보를 얻을 수 있다. 이 때 전이 확률을 구하면 아래와 같다.

\[p= \frac{1}{2}\lbrack 1 - cos(\frac{\gamma V_{\text{pk}}t\cos\alpha}{\text{kπ}} )\rbrack\]

[[File:양자 기술백서_image31.png|none|thumb|450px|그림 3. (a) 람지 측정의 펄스 시퀀스. (b) 스핀 에코의 펄스 시퀀스 (c) CP학습의 펄스 시퀀스 (d) PDD의 펄스 시퀀스.<ref name=Degen>Degen, C. L., Reinhard, F., Cappellaro, P. (2017), “Quantum sensing”, ''Reviews of Modern Physics'', 89(3) : 035002.</ref>
]]

= 참고 문헌 =

[[분류:양자 센서 | 양자 센서]]
[[분류:양자컴퓨팅 이론]]

요약:

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