양자정보 개요 편집하기 (부분)

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= 양자 충실도 (Fidelity) =

양자 충실도(fidelity)란 대각합 거리(trace distance)와 더불어, 양자 상태 두 개가 얼마나 비슷한지를 정량화하는 물리량이다. 양자 상태 $$\rho,\ \ \sigma$$가 있을 때 두 상태의 양자 충실도 값은 다음과 같이 정의된다.

\[F(\rho,\sigma)= \text{tr}\sqrt{\rho^{1\text{/}2}\sigma\rho^{1\text{/}2}}\]

위의 정의는 일견 복잡해 보이지만, 빈번히 사용되는 아래 두 가지 경우에 있어 매우 간단한 형태로 표현된다.<ref name=Nielsen /> 우선, 두 상태 $$\rho,\ \sigma$$가 서로 교환관계에 있는 경우 각각의 상태는 $$\rho= \sum_{i}^{}{ p_{i}\left| i \right\rangle\left\langle i \right|}$$와 $$\sigma =\sum_{i}^{}{ q_{i}\left| i \right\rangle\left\langle i \right|}$$와 같은 형태로, 특정 기저 $$\left| i \right\rangle$$에 대하여 동시에 대각화가 가능하다. 이를 양자 충실도 정의에 대입하여 계산하면 $$F(\rho,\sigma)= \sum_{i}^{}{\sqrt{p_{i}q_{i}}}$$라는 간단한 표현식을 얻을 수 있다. 더 나아가 이 경우의 양자 충실도는 확률분포 {$$p_{i}$$}와 {$$q_{i}$$} 사이의 가까운 정도를 측정하는 고전 충실도와 동일함을 알 수 있다. 양자정보이론에서 자주 고려하는 또 다른 경우는, 하나의 상태는 순수 상태로 주어지고 다른 상태가 일반적인 밀도 행렬로 주어지는 상황이다. 순수 상태와 밀도 행렬을 각각 $$\left| \psi \right\rangle$$, $$\rho$$라 할 때, 두 상태 사이의 양자 충실도는 다음과 같이 계산된다. $$F\left( \left| \psi \right\rangle,\rho \right) =\sqrt{\left\langle \psi \right|\rho\left| \psi \right\rangle}$$. 이때 양자 충실도 값은 일반적인 상태의 순수 상태에 대한 기댓값의 제곱근 형태로 표현된다. 양자 충실도는 또한 유니타리(unitary) 변환에 대하여 불변하는 성질을 갖고 있으며, 이는 임의의 유니타리(unitary) 변환 $$U$$에 대하여 다음 수식 유도를 통해 확인할 수 있다. $$F(\rho,\sigma)= F\left( U\rho U^{\dagger},U\sigma U^{\dagger} \right)$$.<ref name =Nielsen>M. A. Nielsen and I. L. Chuang, ''Quantum computation and quantum information'' (Cambridge University Press, 2002)</ref> 경우에 따라 위에 주어진 정의에서 제곱근을 씌우지 않은 값을 양자 충실도로 사용하기도 한다.

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