양자 센서 (Quantum Sensor) 편집하기 (부분)

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=양자 계측 (Quantum Metrology)=

==계측 (Metrology) 이란?==
계측이란 우리가 알고자 하는 정보를 얻기 위해 물리량을 측정하고 추정하는 총체적인 과정을 뜻한다. 국제단위계를 정의하고 측정하는 문제를 비롯해서, 자기공명영상 촬영, 바이러스 진단 검사, 군사 목표물 감지, 지질조사, 자율 차 및 드론 센서, 중력파 검출 등과 같이 측정과 관련된 문제들을 전반적으로 다룬다. 양자 계측(quantum metrology)이란 양자 계(quantum system)만이 갖는 성질[예: 양자 얽힘(quantum entanglement), 조임(squeezing), 양자화된 에너지 준위(level), 결맞음(coherence) 등]을 활용하여 고전 계(classical system)로는 달성할 수 없거나 혹은 제한된 조건에서 더 뛰어난 민감도(sensitivity), 정밀도(precision), 분해능(resolution)을 달성하는 방법을 연구하는 분야이다.

양자 계측은 계측 대상과의 상호작용을 겪은 양자 시스템의 변화를 살펴보는 것으로, 그 방식에 따라 편의상 두 가지 종류로 나눌 수 있다. 첫째, 양자 빛을 계측 대상에 입사시키고, 투과 혹은 반사된 빛의 양자 상태의 변화를 살펴보는 방법이다. 둘째, 계측 대상의 영향을 받고 있는 양자 시스템에 고전 빛을 입사시키고, 투과 혹은 반사된 빛의 특성을 살펴보는 방법이다 <ref name = " Quantum-Enhanced Measurements: Beating the Standard Quantum Limit">V. Giovannetti,S. Lloyd and L. Maccone, Quantum-Enhanced Measurements: Beating the Standard Quantum Limit, Science '''306''', 1330 (2004). doi:[https://doi.org/10.1126/science.1104149 10.1126/science.1104149.</ref><ref name = "QUANTUM ESTIMATION FOR QUANTUM TECHNOLOGY">M. G. A. Paris, QUANTUM ESTIMATION FOR QUANTUM TECHNOLOGY, International Journal of Quantum Information '''7''', 125 (2009). doi:[https://doi.org/10.1142/S0219749909004839 10.1142/S0219749909004839].</ref><ref name = "Advances in quantum metrology">V. Giovannetti, S. Lloyd and L. Maccone, Advances in quantum metrology, Nature Photonics '''5''', 222 (2011). doi:[https://doi.org/10.1038/nphoton.2011.35 10.1038/nphoton.2011.35].</ref><ref name = "Quantum metrology from a quantum information science perspective">G. Tóth and I. Apellaniz, Quantum metrology from a quantum information science perspective, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical '''47''', 42 (2014). doi:[https://doi.org/10.1088/1751-8113/47/42/424006 10.1088/1751-8113/47/42/424006].</ref><ref name = "Quantum Limits in Optical Interferometry">R. Demkowicz-Dobrzański, M. Jarzyna and J. Kołodyński, Quantum Limits in Optical Interferometry, Progress in Optics '''60''', 345 (2015). doi:[https://doi.org/10.1016/bs.po.2015.02.003 10.1016/bs.po.2015.02.003].</ref>.

[[File:Sensing_Types.jpg|none|thumb|400px|양자 계측의 두 가지 종류]]

양자 계측은 위 분류와 관계없이 일반적으로 네 가지 단계로 이해할 수 있다 <ref name = "Quantum sensing" /><ref name = "Quantum Plasmonic Sensors">C. Lee ''et al.'', Quantum Plasmonic Sensors, Chemical Reviews '''121''', 4743 (2021). doi:[https://doi.org/10.1021/acs.chemrev.0c01028 10.1021/acs.chemrev.0c01028].</ref>.

1)	양자 상태 초기화(initialization): 계측 대상과 상호작용할 양자계의 초기 상태를 적절히 준비한다.

2)	상호작용(interaction): 위에서 준비된 양자 계를 적절한 방법을 통해서 계측 대상과 상호작용시킨다. 이 과정을 통해서 양자 계의 상태 변화가 발생한다.

3)	측정(measurement): 적절한 측정 장치를 사용해서, 양자 계의 상태 변화를 측정한다.

4)	추정(estimation): 적절한 추정자(estimator)를 사용해서, 측정값을 토대로 실제 값을 추정한다.

따라서, 좋은 계측을 하기 위해서는 각 단계들을 최적의 방법으로 수행하는 것이 필요하다 <ref name = "Mathematical Methods of Statistics">H. Cramér, ''Mathematical Methods of Statistics'' (Princeton University Press, 1999).</ref><ref name = "Quantum detection and estimation theory">C. W. Helstrom, ''Quantum detection and estimation theory'' (Academic Press, 1976).</ref><ref name = " Fundamentals of Statistical Signal Processing:
Estimation Theory">S. M. Kay, '' Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory'' (Prentice Hall, 1993).</ref>. 이를테면, 계측에 유용한 양자적 특성을 가진 양자 상태를 준비하거나, 상호작용의 세기를 키우거나, 가장 많은 정보를 줄 수 있는 측정을 수행하거나, 가장 좋은 추정 방법을 사용할 수 있다. 최적의 방법론을 찾고, 실험적으로 구현하는 것이 양자 계측 연구의 핵심이다.

[[File:Sensing_Steps.jpg|none|thumb|400px|양자 계측의 일반적인 네 단계]]

==계측 오차==
계측을 통해 얻어낸 추정(estimation) 값들과 실제(true) 값의 평균적인 차이를 통해서 계측의 성능을 살펴볼 수 있다. 이는 평균 제곱 오차(mean squared error)를 통해 정량화 가능하고, 다음과 같이 정의된다.
\[\text{MSE}[\hat{x}]= \langle(x_{\text{est}} - x )^2 \rangle   \]
여기서 $$x_{\text{est}}$$ 크기가 $$\nu$$인 표본에 대한 측정 결과들을 토대로 실제 값 $$x$$를 추정 한 값이고 $$\langle \cdots \rangle $$는 크기가 $$\nu$$인 모든 표본에 대한 평균이다. 
위 식은 아래와 같이 전개가 가능하며
\[\text{MSE}[\hat{x}]= \langle(x_{\text{est}} - \langle x_{\text{est}} \rangle )^2 \rangle + \langle( \langle x_{\text{est}} \rangle - x )^2 \rangle    \]
이때 첫 번째 항의 추정 값의 분산 $$\Delta x^{2}_{\text{est}} $$으로, 다양한 표본에 대한 추정 값들이 서로 얼마나 비슷한 지 나타내는 정밀도(precision)와 관련이 있다. 그리고 두 번째 항은 추정 값이 평균적으로 실제 값과 얼마나 가까운지를 나타내는 정확도(accuracy)와 관련이 있다. 정확도는 계측 장치의 보정과 관련되어 있으며 대개의 경우 $$\langle x_{\text{est}}\rangle=x $$를 만족시키는 비편향 추정자(unbiased estimator)를 사용하기 때문에, 이 경우 $$\text{MSE}[\hat{x}] = \Delta x^{2}_{\text{est}}$$이므로 평균 제곱 오차를 계측의 정밀도로 취급한다.

상황에 따라 $$\Delta x^{2}_{\text{est}}$$를 추정 오차(estimation error), 추정 정밀도(estimation precision), 추정 불확정도(estimation uncertainty)라 부르기도 한다. 그리고 $$\Delta x^{2}_{\text{est}}$$값이 작으면, 실제 값의 변화를 실험적으로 더 민감하게 감지할 수 있기 때문에, $$\Delta x^{2}_{\text{est}}$$를 때로는 민감도(sensitivity)라 부르기도 한다.

[[File:Estimated_Dist.jpg|none|thumb|400px|실제값이 $$x$$일 때, 크기가 $$\nu$$인 모든 표본에 대한 추정 값 $$x_\text{est}$$의 확률 분포]]

== 크래머-라오 (Cramér-Rao) 부등식==
계측에서 비편향 추정자를 사용하는 경우에, 계측 오차 $$\Delta x_{\text{est}}$$는 크래머-라오 한계(Cramér-Rao bound - CRB)라 불리는 하한(lower bound)을 갖고, 이는 다음과 같이 표현된다 <ref name="Mathematical Methods of Statistics"></ref><ref name = "Hogg">R. V. Hogg, J. W. McKean, and A. T. Craig, ''Introduction to Mathematical Statistics'', 7th ed. (Pearson, 2013).</ref>.
\[\Delta x_{\text{est}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F(x)}}  \]
여기서 $$\nu$$는 측정 횟수(즉, 표본의 크기), $$F(x)$$는 $$F(x)=\sum_{y} \frac{1}{p(y|x)}\left(\frac{\partial p(y|x)}{\partial x}  \right)^2$$으로 정의된 피셔 정보(Fisher information)이고 <ref>R. A. Fisher, Theory of Statistical Estimation. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society '''22''', 700 (1925). doi: [https://doi.org/10.1017/S0305004100009580 10.1017/S0305004100009580].</ref>, $$p(y|x)$$는 실제 값이 $$x$$일 때 측정값 $$y$$를 얻을 확률이다. 측정값 $$y$$를 얻을 확률이다. 측정값 $$y$$가 연속적인 값을 갖는 경우에는 피셔 정보의 정의에서 $$\sum_y$$는 $$\int dy$$로, 확률 $$p(y|x)$$는 확률 밀도 함수로 대체된다. 여기서 피셔 정보는 측정값으로부터 얻어낼 수 있는 $$x$$에 대한 정보량을 뜻한다. 위의 부등식을 크래머-라오 부등식이라 부르고, CRB는 가장 좋은 비편향 추정자를 사용하면 도달할 수 있다. 특별히, 최대 가능성 추정자(maximum-likelihood estimator)를 사용하면 $$\nu$$가 매우 클 때 CRB에 일반적으로 도달할 수 있다 <ref name = "Hogg" /><ref name = "Braunstein">S. L. Braunstein and C. M. Caves, Statistical Distance and the Geometry of Quantum States, Physical Review Letters '''72''', 3249 (1994). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.72.3439 10.1103/PhysRevLett.72.3439].</ref>. 따라서, CRB는 주어진 초기 양자 상태, 상호작용, 측정 방법에 대해서 최적의 비편향 추정자를 사용해서 도달 가능한 계측 오차 값이다.

피셔 정보 $$F(x)$$는 물리 계, 상호작용, 그리고 측정 방법에 의존한다. 만약, 최적의 측정 방법을 사용하는 경우에는 피셔 정보 $$F(x)$$값을 최대화할 수 있고, 이에 따라 계측 오차의 하한을 더욱 낮출 수 있으며, 다음과 같이 표현된다 <ref name = "Braunstein" /><ref>S. L. Braunstein, C. M. Caves, and G. J. Milburn, Generalized Uncertainty Relations: Theory, Examples, and Lorentz Invariance, Annals of Physics '''247''', 135  (1996). doi:[https://doi.org/10.1006/aphy.1996.0040 10.1006/aphy.1996.0040].</ref>.
\[\Delta x_{\text{est}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F(x)}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F_{\text{Q}}(x)}} \]
여기서 $$F_{\text{Q}}(x)$$는 최적의 측정 방법에 의해 최대화된 피셔 정보이고, 이를 양자 피셔 정보(quantum Fisher information)라 부른다. 그리고 더 낮아진 하한을 양자 크래머-라오 한계(Quantum Cramér-Rao bound - QCRB)라 부르고, 위 부등식을 양자 크래머-라오 부등식이라 부른다. 따라서, QCRB는 주어진 초기 양자 상태와 상호작용에 대해서, 최적의 측정 방법과 최적의 비편향 추정자를 사용해서 도달 가능한 계측 오차 값이다.

양자 피셔 정보는 $$F_{\text{Q}}(x)$$는 초기 양자 상태와 상호작용의 종류에 따라 다른 값을 가지는데, 특정 상호작용 형태가 주어져 있을 때, 최적의 양자 상태를 사용을 하면 양자 피셔 정보를 최대화할 수 있고, 이에 따라 계측 오차의 하한을 궁극적으로 낮출 수 있다. 
\[\Delta x_{\text{est}}\geq \frac{1}{\sqrt{\nu F(x)}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F_{\text{Q}}(x)}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F_{\text{UQL}}(x)}} \]
여기서 $$F_{\text{UQL}}(x)$$는 최적의 양자 상태에 의해 최대화된 양자 피셔 정보이다. 이 하한의 의미는 주어진 상호작용에 대해서, 최적의 초기 양자 상태와 최적의 측정 방법과 최적의 비편향 추정자를 사용해서 도달 가능한 계측 오차이며, 이를 궁극적 양자 한계(ultimate quantum limit)라 부르기도 한다.

==표준 양자 한계 (Standard quantum limit)과 하이젠베르크 스케일링(Heisenberg scaling)==
크래머-라오 부등식을 통해서 알 수 있듯이, 양자 계측에서는 적절한 초기 양자 상태와 적절한 측정 방법을 사용하면, 고전적인 방법보다 계측 오차를 더 낮출 수 있다. 이에 대한 정량적인 비교 분석을 위해, 고전 상태를 사용하는 계측의 QCRB와 양자 상태를 사용하는 계측의 QCRB를 비교해보자.

고전 상태를 사용하는 계측의 QCRB는 고전 상태의 평균 에너지($$N$$)의 제곱근에 반비례($$\Delta x_{\text{est}} \propto N^{-1/2}$$)한다. 특별히, 최적의 고전 상태에 의해 최소화된 QCRB를 표준 양자 한계(standard quantum limit)라고 부르며, 이 용어는 Caves의 1981년 PRD 논문에서 표준 측정 장비들을 이용했을 때 달성할 수 있는 계측의 한계라는 뜻으로 사용되었다 <ref name= "On the measurement of a weak classical force coupled to a quantum-mechanical oscillator. I. Issues of principle">C.M. Caves, On the measurement of a weak classical force coupled to a quantum-mechanical oscillator. I. Issues of principle, Review of Modern Physics '''52''', 341 (1980). doi:[https://doi.org/10.1103/RevModPhys.52.341 10.1103/RevModPhys.52.341].</ref><ref name="Quantum-Mechanical Radiation-Pressure Fluctuations in an Interferometer">C. M. Caves, Quantum-Mechanical Radiation-Pressure Fluctuations in an Interferometer, Physical Review Letters '''45''', 75 (1980). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.45.75 10.1103/PhysRevLett.45.75].</ref><ref name= "Quantum-mechanical noise in an interferometer">C.M. Caves, Quantum-mechanical noise in an interferometer, Physical Review D '''23''', 1693 (1981). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevD.23.1693 10.1103/PhysRevD.23.1693 ].</ref>.

양자 상태를 사용하는 계측의 QCRB는, 사용하는 양자 상태에 따라서 표준 양자 한계보다 크거나 작을 수 있다. 적절한 양자 상태를 사용하면, QCRB가 양자 상태의 평균 에너지($$N$$)에 반비례($$\Delta x_{\text{est}} \propto N^{-1}$$)하는 경우들을 볼 수 있는데 <ref name= "Advances in quantum metrology">V. Giovannetti and S. Lloyd, Advances in quantum metrology, Nature Photonics '''5''', 222 (2011).(https://doi.org/10.1038/nphoton.2011.35).</ref><ref name= "Quantum Limits in Optical Interferometry">R. Demkowicz-Dobrzański, Quantum Limits in Optical Interferometry, Progress in Optics '''60''', 345 (1981). (https://doi.org/10.1016/bs.po.2015.02.003).</ref><ref name= "Quantum sensing">C. L. Degen, F. Reinhard and P. Cappellaro, Quantum sensing, Review of Modern Physics '''80''', 39 (2017). doi:[https://doi.org/10.1103/RevModPhys.89.035002 10.1103/RevModPhys.89.035002].</ref>, 이와 같은 스케일링을 특별히 하이젠베르크 스케일링이라 부른다. 최근의 몇몇 연구들은 하이젠베르크 스케일링을 뛰어넘는 계측 오차($$\Delta x_{\text{est}} \propto N^{n<-1}$$)에 대한 결과를 보고하기도 하였지만 <ref name = "Generalized Limits for Single-Parameter Quantum Estimation">S. Boixo, S. T. Flammia, C. M. Caves, and JM Geremia, Generalized Limits for Single-Parameter Quantum Estimation, Physical Review Letters '''98''', 090401 (2007). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.98.090401 10.1103/PhysRevLett.98.090401].</ref><ref name = "Quantum Metrology: Dynamics versus Entanglement">S. Boixo ''et al.'', Quantum Metrology: Dynamics versus Entanglement, Physical Review Letters '''101''', 040403 (2008). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.040403 10.1103/PhysRevLett.101.040403].</ref><ref name = "Exponentially enhanced quantum metrology">S. M. Roy and S. L. Braunstein, Exponentially enhanced quantum metrology, Physical Review Letters '''100''', 220501 (2008). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.100.220501 10.1103/PhysRevLett.100.220501].</ref><ref name = "At the Limits of Criticality-Based Quantum Metrology: Apparent Super-Heisenberg Scaling Revisited">M. M. Rams ''et al.'', At the Limits of Criticality-Based Quantum Metrology: Apparent Super-Heisenberg Scaling Revisited, Physical Review X '''8''', 021022 (2018). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevX.8.021022 10.1103/PhysRevX.8.021022].</ref><ref name = "Interaction-based quantum metrology showing scaling beyond the Heisenberg limit">M. Napolitano ''et al.'', Interaction-based quantum metrology showing scaling beyond the Heisenberg limit, Nature '''471''', 486 (2011). doi:[https://doi.org/10.1038/nature09778 10.1038/nature09778].</ref>, 계측에 사용된 전체적인 자원(resource) 관점에서 $$N$$을 엄밀하게 정의할 경우, 하이젠베르크 스케일링보다 더 큰 스케일링은 불가능하다는 연구가 보고된 적이 있다 <ref name = "General Optimality of the Heisenberg Limit for Quantum Metrology">M. Zwierz, C. A. Pérez-Delgado and P. Kok, General Optimality of the Heisenberg Limit for Quantum Metrology, Physical Review Letters '''105''', 180402 (2010). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.105.180402 10.1103/PhysRevLett.105.180402].</ref><ref name = "Does Nonlinear Metrology Offer Improved Resolution? Answers from Quantum Information Theory">M. J. W. Hall and H. M. Wiseman, Does Nonlinear Metrology Offer Improved Resolution? Answers from Quantum Information Theory, Physical Review X '''2''', 041006 (2012). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevX.2.041006 10.1103/PhysRevX.2.041006].</ref><ref name = "True precision limits in quantum metrology">M. Jarzyna and R. Demkowicz-Dobrzański, True precision limits in quantum metrology, New Journal of Physics '''17''', 013010 (2015). doi:[https://doi.org/10.1088/1367-2630/17/1/013010 10.1088/1367-2630/17/1/013010].</ref><ref name = "Quantum Measurement Bounds beyond the Uncertainty Relations">V. Giovannetti, S. Lloyd, and L. Maccone, Quantum Measurement Bounds beyond the Uncertainty Relations, Physical Review Letters '''108''', 260405 (2012). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.108.260405 10.1103/PhysRevLett.108.260405].</ref><ref name = "Sub-Heisenberg Estimation Strategies Are Ineffective">V. Giovannetti and L. Maccone, Sub-Heisenberg Estimation Strategies Are Ineffective, Physical Review Letters '''108''', 210404 (2012). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.108.210404 10.1103/PhysRevLett.108.210404].</ref><ref name = "Ziv-Zakai Error Bounds for Quantum Parameter Estimation">M. Tsang, Ziv-Zakai Error Bounds for Quantum Parameter Estimation, Physical Review Letters '''108''', 230401 (2012). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.108.230401 10.1103/PhysRevLett.108.230401].</ref>.

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