위상 양자 컴퓨팅 (Topological Quantum Computing) 편집하기 (부분)

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= 입자 통계와 애니온 (Particle Statistics and Anyons) =

[[File:기술백서 전체수정_72_resize.jpg|none|thumb|500px|그림 1. 비가환 애니온의 시간 변화 모식도. 서로 다른 애니온들을 시공간상에서 교환하는 유니타리 연산이 시간 변화를 발생시킨다.<ref>[http://zimp.zju.edu.cn/~xinwan/topo06/ Mini-Workshop on Topological Quantum Computation (zju.edu.cn)]</ref> 참고문헌 [6]의 그림을 재구성함.
]]
3+1 차원의 시공간에 존재하는 모든 입자는 보손(Boson) 또는 페르미온(Fermion)으로 분류될 수 있다. 이는 양자장론으로 증명되는 스핀-통계 정리(spin-statistics theorem)의 결과로 알려져 있다. 입자의 종류는 해당 입자들이 구성하는 파동함수의 대칭성을 결정하여 다체계(many-body)의 특성에 현격한 영향을 미친다. 파동함수의 대칭성이란 구분 불가능(indistinguishable)한 입자를 시공간 상에서 교환(exchange)하였을 때 붙게 되는 위상(phase)을 의미한다. 예를 들어 두 구분 불가능한 입자가 구성하는 파동함수를 $$\psi(r_{1},r_{2})$$, 교환 연산자(exchange operator)를 $$\hat{P}$$라고 하자. 그러면 $$\hat{P}\psi\left( r_{1},r_{2} \right)= \psi\left( r_{2},r_{1} \right) =e^{i θ}\psi \left( r_{1},r_{2} \right)$$가 성립한다. 보손은 $$\theta= 0$$, 페르미온은 $$\theta =\pi$$ 에 해당한다.

그러나 2+1 차원의 시공간에서는 입자 교환에 대해 파동함수가 임의의 $$\theta$$를 가질 수 있음이 알려져 있다. 이 입자들을 보손과 페르미온과 구별하여 애니온이라고 부른다. 입자 종류와 대칭성의 관계를 명확히 정의하기 위해서는 군론과 위상학의 형식적 논리가 요구되지만 여기서는 주요 결과만을 간단하게 정리하도록 한다. $$d$$ 차원에서 구분 불가능한 $$N$$ 개 입자들의 짜임새 공간(configuration space)를 $$M_{d}^{N}$$, 이 공간에서 정의된 기본군(fundamental set)을 $$\pi_{1}(M_{d}^{N})$$로 표기하자. 그러면 다음이 성립한다.

\[\pi_{1}(M_{d}^{N}) \simeq \left\{ \begin{matrix}
S_{N}\ \ \ (d \geq 3) \\
B_{N}\ \ \ (d= 2) \\
\end{matrix} \right. \]

$$S_{N}$$은 순환군(permutation group)을, $$B_{N}$$은 꼬임군(braid group)을 가리키고, $$\simeq$$는 동형 사상(isomorphism)을 의미한다. 2차원 공간에서는 대칭성이 깨지면서 (수학적으로 순환군이 꼬임군으로 대체되고) 물리학적으로 3차원 입자들(보손과 페르미온)이 2차원 입자인 애니온으로 대체 또는 발현하게 된다.

애니온의 시간 변화(time evolution)는 꼬임군이 파동함수에 작용하는 방식에 의해 결정된다.<ref name=Nayak>C. Nayak ''et al.,''  Non-Abelian anyons and toplogical quantum computation, Reviews of Modern Physics '''80''', 1083 (2008) doi:[https://doi.org/10.1103/RevModPhys.80.1083 10.1103/RevModPhys.80.1083].</ref> 이를 수학적인 방식보다는 물리적인 예시를 통해 설명하도록 한다. 애니온은 위상 물질에서 발현되는 준-입자라고 하였는데, 어떤 시스템의 기저 상태를 구성한다고 하자. 기저 상태가 유일하면 가환 애니온(abelian anyon), [축퇴 에너지 준위(degenerate energy level)를 여러 개 가지는 등] 복수 개가 존재하면 비가환 애니온(non-abelian anyon)이라고 한다. 양자 연산에 사용할 수 있는 애니온은 후자에 해당한다. 비가환 애니온의 교환 연산자는 유니타리 행렬로 표기될 수 있는데, 그림1처럼 나타낼 수 있다.<ref>X. Wan, K. Yang, and E.H. Rezayi, Edge Excitations and Non-Abelian Statistics in the Moore-Read State, Physics Review Letter '''97''', 256804 (2006) doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.97.256804 10.1103/PhysRevLett.97.256804].</ref> 가로 축에 놓여 있는 점들은 공간적으로 분리되어 있는 애니온들이고, 세로 축은 시간이다. 시간 변화는 서로 다른 애니온들을 시공간 상에서 교환하는 유니타리 연산자에 의해 발생한다. 그림1과 꼬임군이라는 이름에서 이유를 알 수 있듯이, 이 유니타리 연산을 꼬기(braiding)라고 한다.

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