양자 센서 (Quantum Sensor) 편집하기 (부분)

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== 크래머-라오 (Cramér-Rao) 부등식==
계측에서 비편향 추정자를 사용하는 경우에, 계측 오차 $$\Delta x_{\text{est}}$$는 크래머-라오 한계(Cramér-Rao bound - CRB)라 불리는 하한(lower bound)을 갖고, 이는 다음과 같이 표현된다 <ref name="Mathematical Methods of Statistics"></ref><ref name = "Hogg">R. V. Hogg, J. W. McKean, and A. T. Craig, ''Introduction to Mathematical Statistics'', 7th ed. (Pearson, 2013).</ref>.
\[\Delta x_{\text{est}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F(x)}}  \]
여기서 $$\nu$$는 측정 횟수(즉, 표본의 크기), $$F(x)$$는 $$F(x)=\sum_{y} \frac{1}{p(y|x)}\left(\frac{\partial p(y|x)}{\partial x}  \right)^2$$으로 정의된 피셔 정보(Fisher information)이고 <ref>R. A. Fisher, Theory of Statistical Estimation. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society '''22''', 700 (1925). doi: [https://doi.org/10.1017/S0305004100009580 10.1017/S0305004100009580].</ref>, $$p(y|x)$$는 실제 값이 $$x$$일 때 측정값 $$y$$를 얻을 확률이다. 측정값 $$y$$를 얻을 확률이다. 측정값 $$y$$가 연속적인 값을 갖는 경우에는 피셔 정보의 정의에서 $$\sum_y$$는 $$\int dy$$로, 확률 $$p(y|x)$$는 확률 밀도 함수로 대체된다. 여기서 피셔 정보는 측정값으로부터 얻어낼 수 있는 $$x$$에 대한 정보량을 뜻한다. 위의 부등식을 크래머-라오 부등식이라 부르고, CRB는 가장 좋은 비편향 추정자를 사용하면 도달할 수 있다. 특별히, 최대 가능성 추정자(maximum-likelihood estimator)를 사용하면 $$\nu$$가 매우 클 때 CRB에 일반적으로 도달할 수 있다 <ref name = "Hogg" /><ref name = "Braunstein">S. L. Braunstein and C. M. Caves, Statistical Distance and the Geometry of Quantum States, Physical Review Letters '''72''', 3249 (1994). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.72.3439 10.1103/PhysRevLett.72.3439].</ref>. 따라서, CRB는 주어진 초기 양자 상태, 상호작용, 측정 방법에 대해서 최적의 비편향 추정자를 사용해서 도달 가능한 계측 오차 값이다.

피셔 정보 $$F(x)$$는 물리 계, 상호작용, 그리고 측정 방법에 의존한다. 만약, 최적의 측정 방법을 사용하는 경우에는 피셔 정보 $$F(x)$$값을 최대화할 수 있고, 이에 따라 계측 오차의 하한을 더욱 낮출 수 있으며, 다음과 같이 표현된다 <ref name = "Braunstein" /><ref>S. L. Braunstein, C. M. Caves, and G. J. Milburn, Generalized Uncertainty Relations: Theory, Examples, and Lorentz Invariance, Annals of Physics '''247''', 135  (1996). doi:[https://doi.org/10.1006/aphy.1996.0040 10.1006/aphy.1996.0040].</ref>.
\[\Delta x_{\text{est}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F(x)}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F_{\text{Q}}(x)}} \]
여기서 $$F_{\text{Q}}(x)$$는 최적의 측정 방법에 의해 최대화된 피셔 정보이고, 이를 양자 피셔 정보(quantum Fisher information)라 부른다. 그리고 더 낮아진 하한을 양자 크래머-라오 한계(Quantum Cramér-Rao bound - QCRB)라 부르고, 위 부등식을 양자 크래머-라오 부등식이라 부른다. 따라서, QCRB는 주어진 초기 양자 상태와 상호작용에 대해서, 최적의 측정 방법과 최적의 비편향 추정자를 사용해서 도달 가능한 계측 오차 값이다.

양자 피셔 정보는 $$F_{\text{Q}}(x)$$는 초기 양자 상태와 상호작용의 종류에 따라 다른 값을 가지는데, 특정 상호작용 형태가 주어져 있을 때, 최적의 양자 상태를 사용을 하면 양자 피셔 정보를 최대화할 수 있고, 이에 따라 계측 오차의 하한을 궁극적으로 낮출 수 있다. 
\[\Delta x_{\text{est}}\geq \frac{1}{\sqrt{\nu F(x)}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F_{\text{Q}}(x)}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F_{\text{UQL}}(x)}} \]
여기서 $$F_{\text{UQL}}(x)$$는 최적의 양자 상태에 의해 최대화된 양자 피셔 정보이다. 이 하한의 의미는 주어진 상호작용에 대해서, 최적의 초기 양자 상태와 최적의 측정 방법과 최적의 비편향 추정자를 사용해서 도달 가능한 계측 오차이며, 이를 궁극적 양자 한계(ultimate quantum limit)라 부르기도 한다.

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