양자 센서 (Quantum Sensor) 편집하기 (부분)

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==여러가지 양자 상태들의 소개==
임의의 양자상태를 생성하는 것은 일반적으로 어렵다 <ref name = "Multiphoton quantum optics and quantum state engineering">F. Dell’Anno, S. D. Siena and F. Illuminati, Multiphoton quantum optics and quantum state engineering, Physics Reports '''428''', 53 (2006). doi:[https://doi.org/10.1016/j.physrep.2006.01.004 10.1016/j.physrep.2006.01.004].</ref>. 아래에서는 양자 광학 센싱에서 사용되는 대표적인 양자 상태들과 생성 방법에 대해서 살펴본다.

===광자 수 상태===
주어진 모드에서 양자화된 빛의 자유-해밀토니안(Free-Hamiltonian)의 에너지 고유 상태(eigenstate)를 광자 수 상태(photon-number state)로 정의하고, 이에 대응되는 에너지 고윳값(eigenvalue)을 광자 수(photon number)라 부른다 <ref name = "The Quantum Theory of Light, 3rd ed">R. Loudon, ''The Quantum Theory of Light, 3rd ed'' (Oxford University Press, 2000).</ref>. 즉, 광자 수 상태란 빛의 불연속적인 에너지 준위 상태를 뜻하고, 단일 모드(single mode)에서 아래와 같이 표현된다.
\[ \vert N \rangle = \frac{({\hat{a}}^{\dagger})^{N}}{\sqrt{N!}} \vert 0 \rangle \]
여기서 $$\vert 0 \rangle$$는 진공 상태이고 $$ \hat{a}^{\dagger} $$는 해당 보존 모드의 생성(creation) 연산자이다.

$$N=1$$인 단광자(single photon) 상태 $$\vert 1 \rangle$$는 물리계의 상태가 높은 에너지 준위(level)에서 낮은 에너지 준위로 전이(transition)가 일어날 때, 자발 방출(spontaneous emission) 과정을 통해서 생성될 수 있다 <ref name = "Invited review article: Single-photon sources and detectors">M. D. Eisman ''et al.'', Invited review article: Single-photon sources and detectors, Review of Scientific Instruments '''82''', 071101 (2011). doi:[https://doi.org/10.1063/1.3610677 10.1063/1.3610677].</ref>. 자발 방출을 이용한 단광자 생성은 확률적으로 발생하기 때문에, 단광자가 언제 생성되는지 알 수 없는 단점이 있다. 그래서 아래에서 소개할 쌍둥이-빔(twin-beam) 상태를 사용하는 예고(heralding) 방법이 주로 사용된다 <ref name = "Invited review article: Single-photon sources and detectors"/><ref name = "Experimental realization of a localized one-photon state">C. K. Hong and L. Mandel, Experimental realization of a localized one-photon state, Physical Review Letters '''56''', 58 (1986). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.56.58 10.1103/PhysRevLett.56.58].</ref><ref name = "Heralded single photon sources: a route towards quantum communication technology and photon standards">S. A. Castelletto and R. E. Scholten, Heralded single photon sources: a route towards quantum communication technology and photon standards, The European Physical Journal-Applied Physics '''41''', 181 (2008). doi:[https://doi.org/10.1051/epjap:2008029 10.1051/epjap:2008029].</ref>.
이는 아이들러 빔(idler beam)에서 단광자가 측정이 되면, 시그널 빔(signal beam)의 상태가 단광자 상태임을 확실히 알 수 있는 광자 수 상관관계를 이용한다.

$$N>1$$인 임의의 광자 수 상태의 생성은 일반적으로 매우 어렵다. 단광자를 생성하는 방법과 비슷하게 쌍둥이-빔 상태를 사용해서 $$N$$-광자수 상태를 조건적으로 생성할 수 있지만 
<ref name = "Generating antibunched light from the output of a nondegenerate frequency converter">D. Stoler and B. Yurke, Generating antibunched light from the output of a nondegenerate frequency converter, Physical Review A '''34''', 3143 (1986). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevA.34.3143 10.1103/PhysRevA.34.3143].</ref><ref name = "NJP">NJP 8, 4 (2006)</ref>, $$N$$이 클수록 생성 확률 또는 생성 빈도수가 극도로 낮아지기 때문에 실용성이 떨어진다. 일반적으로, 임의의 광자 수 상태를 생성하기 위해서는 비선형(nonlinear) 유니타리(unitary) 연산이 필수적인데 
<ref name = "First-Principles Determination of Chain-Structure Instability in">R. Yu and H. Krakauer, First-Principles Determination of Chain-Structure Instability in KNb $${\mathrm{O}}_{3}$$, Physical Review Letters '''74''', 4067 (1995). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.74.4067 10.1103/PhysRevLett.74.4067].</ref><ref name = "Quantum state engineering via unitary transformations">A. Vidiella-Barranco and J. A. Roversi, Quantum state engineering via unitary transformations, Physical Review A '''58''', 3349 (1998). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevA.58.3349 10.1103/PhysRevA.58.3349].</ref>, 
원자(atom)-공동(cavity) 상호작용을 이용하거나 
<ref name = "Quantum and semiclassical steady states of a kicked cavity mode">P. Filipowicz, J.  Javanainen and P. Meystre, Quantum and semiclassical steady states of a kicked cavity mode, Journal of the Optical Society of America B '''3''', 906 (1986). doi:[https://doi.org/10.1364/JOSAB.3.000906 10.1364/JOSAB.3.000906].</ref>, 
비선형 물질을 이용하여 
<ref name = "Possibility of producing the one-photon state in a kicked cavity with a nonlinear Kerr medium">W. Leoński and R. Tanaś, Possibility of producing the one-photon state in a kicked cavity with a nonlinear Kerr medium, Physical Review A '''49''', R20 (1994). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevA.49.R20 10.1103/PhysRevA.49.R20].</ref><ref name = "Generation of Fock states and qubits in periodically pulsed nonlinear oscillators">T. V. Gevorgyan, A. R. Shahinyan, and G. Yu. Kryuchkyan, Generation of Fock states and qubits in periodically pulsed nonlinear oscillators, Physical Review A '''85''', 053802 (2012). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevA.85.053802 10.1103/PhysRevA.85.053802].</ref> 비선형 유니타리 연산을 근사적으로 구현할 수 있는 방법들이 제안되었다. 한편, 비선형 연산은 측정이라는 과정을 통해서도 효과적으로 구현될 수 있는데, 공동(cavity)을 통과한 원자들의 상태 측정을 통해 공동(cavity) 내에 광자 수 상태를 생성하는 방법과 <ref name = "Preparing pure photon number states of the radiation field">B. T. H. Varcoe, S. Brattke, M. Weidinger and H. Walther, Preparing pure photon number states of the radiation field, Nature '''403''', 743 (2000). doi:[https://doi.org/10.1038/35001526 10.1038/35001526].</ref><ref name = "Conditional Large Fock State Preparation and Field State Reconstruction in Cavity QED">M. França Santos, E. Solano, and R. L. de Matos Filho, Conditional Large Fock State Preparation and Field State Reconstruction in Cavity QED, Physical Review Letters '''87''', 093601 (2001). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.87.093601 10.1103/PhysRevLett.87.093601].</ref><ref name = "Generating and Probing a Two-Photon Fock State with a Single Atom in a Cavity">P. Bertet ''et al.'', Generating and Probing a Two-Photon Fock State with a Single Atom in a Cavity, Physical Review Letters '''88''', 143601 (2002). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.88.143601 10.1103/PhysRevLett.88.143601].</ref><ref name = "Deterministic Generation of Large Fock States">M. Uria, P. Solano, and C. Hermann-Avigliano, Deterministic Generation of Large Fock States, Physical Review Letters '''125''', 093603 (2020). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.125.093603 10.1103/PhysRevLett.125.093603].</ref> 비선형 매질로 구성된 간섭계를 통과한 빛의 상태 측정을 통해 간섭계의 다른 출력 모드에서 광자수 상태를 생성하는 방법이 <ref name = "Sculpturing coherent states to get highly excited Fock states for stationary and travelling fields">L. P. A. Maia, B. Baseia, A. T. Avelar and M. C. Malbouisson, Sculpturing coherent states to get highly excited Fock states for stationary and travelling fields, Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics '''6''', 351 (2004). doi:[https://doi.org/10.1088/1464-4266/6/7/013 10.1088/1464-4266/6/7/013].</ref><ref name = "Optical Fock-state synthesizer">G. M. D’Ariano, L. Maccone, M. G. A. Paris, and M. F. Sacchi, Optical Fock-state synthesizer, Physical Review A '''61''', 053817 (2000). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevA.61.053817 10.1103/PhysRevA.61.053817].</ref> 제안되었다.

[[File:Photon-number.jpg|none|thumb|400px|광자 수 상태의 에너지 준위]]

===결맞음 상태 (Coherent state)===
모든 차수($$n=1,2,3, \cdots$$)에 대해 $$n$$차 양자 결맞음 함수(nth-order quantum coherence function)값이 $$1$$인 단일 모드(single-mode) 양자 상태를 결맞음 상태(coherent state)라 부르고, 광자 수 상태 기저들을 이용해 나타내면 다음과 같이 표현된다 <ref name = "Quantum Optics">M. O. Scully and M. S. Zubairy, ''Quantum Optics'' (Cambridge University Press, 2012).</ref>. 
\[
\vert \alpha \rangle = e^{-\vert \alpha \vert^2 /2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\vert n\rangle
\]
여기서 $$\vert n \rangle$$는 $$n$$-광자 수 상태이고, $$\alpha$$는 $$\alpha = \vert \alpha \vert e^{i \theta} $$와 같이 복소수로 표현된다. 결맞음 상태를 구성하는 광자수의 분포는 다음과 같은 푸아송(Poisson) 분포를 따르는데 
\[ P_{n} = \vert \langle n \vert \alpha \rangle\vert^{2} =e^{-\vert \alpha \vert^2} \frac{\vert \alpha \vert^{2n}}{n!} \]
이로부터, 결맞음 상태의 광자 수 평균은 $$\langle \hat{n}\rangle = \vert \alpha \vert^2$$이고, 광자 수 분산은 $$\langle ( \Delta \hat{n})^2 \rangle = \vert \alpha \vert^2$$임을 알 수 있다. 즉, 결맞음 상태의 빛의 세기(intensity)는 $$\vert \alpha \vert^2$$에 비례한다.
이 결맞음 상태를 $$X$$(일반화 위치 좌표)와 $$P$$(일반화 운동량 좌표)로 구성된 위상공간에서 나타낼 수 있는데, 공동(cavity) 내의 빛의 상태의 경우 좌표값 $$X$$와 $$P$$는 전기장과 자기장에 각각 대응되고, 결맞음 상태의 전자기장 평균값은 고전 전자기학에서의 광원이 없는 전자기장과 동일한 꼴을 갖는다. 결맞음 상태는 변위(displacement) 연산자 $$\hat{D}(\alpha) = \exp(\alpha \hat{a}^{\dagger} - \alpha^{*}\hat{a})$$를 이용해서 $$\vert \alpha \rangle =  \hat{D}(\alpha) \vert 0 \rangle $$와 같이 표현되는데, 이는 위상공간에서 원점에 위치한 진공 상태를 $$\theta$$방향으로 $$\vert \alpha \vert $$값에 비례하는 길이만큼 이동(displace)시킨 상태를 뜻한다. 적절한 정규화를 통해서 $$X$$와 $$P$$를 대칭적으로 정의하면, 결맞음 상태에 대한 $$X$$와 $$P$$의 표준편차는 $$\Delta X = \Delta P = \frac{1}{\sqrt{2}}$$로 ($$\alpha$$값과 상관 없이) 주어지고, 이 둘의 곱은 $$X$$와 $$P$$에 대한 하이젠베르크 불확정성(uncertainty) 부등식에서의 등식을 만족시킨다. 게다가 $$\Delta X \Delta P$$ 값은 시간에 따라 결맞음 상태의 위상($$\theta = wt$$)이 바뀌는 동안에도 최소 불확정도를 여전히 유지한다. 이를 바꿔서 말하면, 임의로 회전된 좌표축 $$X' = X\cos{\theta} - P\sin{\theta}$$, $$P' = X\sin{\theta} + P\cos{\theta}$$에 대해서도 $$\Delta X' \Delta P'$$값은 항상 동일하다는 뜻이다. 이와 같이, 결맞음 상태는 고전계와 유사한 특성들을 나타내기 때문에, 결맞음 상태를 가장 고전적인 양자 상태라고 부른다 <ref name = "Quantum Optics in Phase Space">P. S. Wolfgang, ''Quantum Optics in Phase Space'' (John Wiley & Sons, 2015).</ref>.

한편, $$\alpha=0$$인 결맞음 상태는 진공 상태이고, 진공 상태의 $$\Delta X' \Delta P'$$ 값은 임의의 결맞음 상태 $$\vert \alpha \rangle$$의 $$\Delta X' \Delta P'$$ 값과 동일하다. 즉, $$\alpha$$ 값과 상관없이, 결맞음 상태는 $$X'$$와 $$P'$$에 대해 항상 최소 불확정도를 갖는다.

빛의 결맞음 상태는 일반적으로 레이저(LASER)를 통해서 생성된다 <ref name = "Optical coherence and quantum optics">L. Mandel and E. Wolf, ''Optical coherence and quantum optics'' (Cambridge University Press, 2013).</ref>. 레이저(LASER), 즉 복사 유도 방출에 의한 광증폭 과정을 통해서 생성되는 광자들은 위상뿐 아니라, 모드 특성(진행 방향, 편광 방향, 파장 등)들이 서로 같은 간섭성이 매우 큰 빛이다. 그리고 레이저를 통해서 생성된 빛의 광자 수의 분포 역시 푸아송 분포를 따른다.

[[File:Coherent_State2.jpg|none|thumb|400px|(a) 결맞음 상태의 광자 수 분포, (b) 위상 공간에서 표현한 결맞음 상태]]

===조임 상태 (Squeezed state)===
물리적인 상태가 위상공간(phase space)에서 특정 방향에 대해서 조여진 형태로 표현될 때, 그 상태를 조임 상태(squeezed state)라 부른다. 가장 대표적인 조임 상태는 조임 진공 상태(squeezed vacuum state)이며, 이를 광자 수 상태 기저들을 이용해 나타내면 다음과 같다 <ref name="Quantum Optics"></ref>.
\[\vert \xi \rangle = \frac{1}{\sqrt{\cosh{r}}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}{\tanh^{n}{r}}e^{in\theta} \frac{\sqrt{(2n)!}}{n! 2^{n}} \vert 2n \rangle \]
위 식에서 알 수 있듯이, 조임 진공 상태는 짝수 광자 수 상태들로 구성되어 있고, 조임 진공 상태의 광자 수 분포는 다음과 같다.
\[P_{2n+1} = \vert \langle 2n-1 \vert \xi \rangle \vert^2 =0 \]
\[P_{2n} = \vert \langle 2n \vert \xi \rangle \vert^2 = \frac{\tanh^{2n}{r}}{\cosh{r}} \frac{(2n)!}{n! 2^{2n}} \]
조임 진공 상태는 조임 연산자 $$\hat{S}(\xi)= \exp{(\frac{1}{2}\xi^{*} {\hat{a}}^{2} - \frac{1}{2}\xi {\hat{a}}^{\dagger 2}})$$를 사용해서 $$\vert \xi \rangle = \hat{S}(\xi) \vert 0 \rangle$$로 표현되는데 여기서 $$\xi = r e^{i \theta}$$이고, 이는 위상공간에서 원점에 위치한 진공상태를 $$x$$축의 양의 방향으로부터 $$\frac{\theta}{2}$$만큼 회전시킨 방향으로 조인 상태를 뜻한다. (이때 조여진 정도는 $$r$$에 의존한다.) 그래서 조임 진공 상태는 여전히 원점에 위치하지만(즉, $${X}$$와 $${P}$$의 평균은 각각 $$0$$), 조임 연산자에 의해 조여진 만큼 $${X}$$와 $${P}$$의 표준편차에 변화가 생긴다. 조임 위상이 $$\theta = 0$$인 경우에는 $$\Delta {X} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-r}$$, $$\Delta {P} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{r}$$로 각각 간단하게 표현되며, 이 둘의 곱은 $$\Delta {X} \Delta {P} = \frac{1}{2}$$이다. 즉, 결맞음 상태와 마찬가지로 조임 진공 상태도 $$ {X}$$와 $$ {P}$$에 대한 하이젠베르크 불확정성(uncertainty) 부등식에서 등식을 만족시킨다. 그러나 임의의 방향으로 조여진 경우에는 $$\Delta {X} \Delta {P}$$의 값이 $$\frac{1}{2}$$보다 큰 값을 가질 수도 있는데, 이는 조임 진공 상태의 $${X}$$와 $${P}$$에 대한 불확정도가 조임 방향 $$\theta$$에 따라 달라지기 때문이다. 이 경우에는 $$\frac{\theta}{2}$$만큼 회전된 연산자 $${X}'$$, $${P}'$$에 대한 불확정도를 살펴보면, 여전히 최소 불확정도를 가지는 것을 알 수 있다 <ref name="Quantum Optics in Phase Space"></ref>.

위에서 살펴봤듯이, 조임 진공 상태는 특정 위상 방향에 대한 위상 불확정도가 진공 혹은 결맞음 상태보다 더 작기 때문에, 위상-조임 상태(phase-squeezed state)라 부르기도 한다. 즉, 위상에 대한 불확정도를 결맞음 상태보다 더 줄일 수 있기 때문에, 조임 진공 상태는 빛의 위상 계측 문제에서 매우 유용하게 사용된다.

조임 진공 상태는 자발 매개 하향 변환(spontaneous parametric down-conversion - SPDC)이란 비선형 과정을 통해서 생성할 수 있다 <ref name = "Optimal frequency measurements with maximally correlated states">J. J. Bollinger, W. M. Itano, D. J. Wineland, and D. J. Heinzen, Optimal frequency measurements with maximally correlated states, Physical Review A '''54''', R4649 (1996). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevA.54.R4649 10.1103/PhysRevA.54.R4649].</ref><ref name = "Extreme quantum entanglement in a superposition of macroscopically distinct states">N. D. Mermin, Extreme quantum entanglement in a superposition of macroscopically distinct states, Physical Review Letters '''65''', 1838 (1990). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.65.1838 10.1103/PhysRevLett.65.1838].</ref><ref name = "New formalism for two-photon quantum optics. II. Mathematical foundation and compact notation">B. L. Schumaker and C. M. Caves, New formalism for two-photon quantum optics. II. Mathematical foundation and compact notation, Physical Review A '''31''', 3093 (1985). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevA.31.3093 10.1103/PhysRevA.31.3093].</ref>. SPDC 과정은 빛이 비등방성(anisotropic) 비선형(nonlinear) 매질을 투과할 때 발생하고, 일반적으로 시그널 빔과 아이들러 빔의 쌍으로 출력된다. 빛의 입사 각도에 따라서 출력빔들의 편광 방향이 서로 같은 Type I과 출력빔들의 편광 방향이 서로 다른 Type II로 분류되며, 위에서 소개한 조임 진공 상태는 Type I SPDC 과정을 통해 출력되는 빔들이 모두 같은 파장과 같은 진행 방향을 가지는 완전히 겹쳐있는(degenerate) 경우에 생성되는 빛이다.

[[File:Squeezed_State2.jpg|none|thumb|400px|(a) 조임 상태의 광자 수 분포, (b) 위상 공간에서 표현한 조임 상태]]

===NOON 상태 (NOON state)===
$$N$$개의 광자가 두 개의 모드에 걸쳐서 강하게 얽혀있는 다음과 같이 정의된 양자 상태를 NOON 상태라 부른다.
\[ \vert N00N \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert N \rangle_{a}\vert 0 \rangle_{b} + \vert 0 \rangle_{a}\vert N \rangle_{b}) \]
NOON 상태는 첫 번째 모드에 $$N$$ 개의 광자가 있는 상태와 두 번째 모드에 $$N$$ 개의 광자가 있는 상태의 양자 중첩 상태이며, 한 모드에서 $$N$$ 개의 광자가 발견되면, 다른 모드는 항상 진공 상태인 특성을 가진 양자 얽힘 상태이다. 그리고 각 모드의 평균 광자 수는 $$N/2$$이고, 전체적인 평균 광자 수는 $$N$$이다.

$$N=2$$인 NOON 상태는 홍-오우-만델(Hong-Ou-Mandel) 효과 <ref name = "Measurement of subpicosecond time intervals between two photons by interference">C. K. Hong, Z. Y. Ou and L. Mandel, Measurement of subpicosecond time intervals between two photons by interference, Physical Review Letters '''59''', 2044 (1987). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.59.2044 10.1103/PhysRevLett.59.2044].</ref> 를 통해서 비교적 쉽게 생성할 수 있지만, $$N>2$$인 NOON 상태는 일반적으로 만들기가 어렵다. 선형광학계를 통과한 빛에 후선택 측정 방법을 적용해서 조건적으로 생성하는 방법이 있고 <ref name = "Creation of large-photon-number path entanglement conditioned on photodetection">P. Kok, H. Lee and J. P. Dowling, Creation of large-photon-number path entanglement conditioned on photodetection, Physical Review A '''65''', 052104 (2002). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevA.65.052104 10.1103/PhysRevA.65.052104].</ref>, 다른 방법으로는 결맞음 상태와 조임 상태를 빔 분할기(beam splitter)에 입사시켜서 생성하는 방법이 있다 <ref name = "High-NOON States by Mixing Quantum and Classical Light">I. Afek, O. Ambar and Y. Silberberg, High-NOON States by Mixing Quantum and Classical Light, Science '''328''', 879 (2010). doi:[https://doi.org/10.1126/science.1188172 10.1126/science.1188172].</ref>.

===쌍둥이-빔 상태 (Twin-beam state)===
위에서 소개한 SPDC 과정을 통해서 생성되는 시그널 빔과 아이들러 빔이 서로 다른 단일 모드 특성 (예: 진행 방향, 파장 등)을 가질 때, 그 출력광의 양자 상태는 아래와 같이 표현된다 <ref name = "Observation of Simultaneity in Parametric Production of Optical Photon Pairs">D. C. Burnham and D. L. Weinberg, Observation of Simultaneity in Parametric Production of Optical Photon Pairs, Physical Review Letters '''25''', 84 (1970). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.25.84 10.1103/PhysRevLett.25.84].</ref><ref name = "Observation of Quantum Noise Reduction on Twin Laser Beams">A. Heidmann ''et al.'', Observation of Quantum Noise Reduction on Twin Laser Beams, Physical Review Letters '''59''', 2555 (1987). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.59.2555 10.1103/PhysRevLett.59.2555].</ref>.
\[\vert \text{TMSV} \rangle = \hat{S}_{2}(\xi) \vert 0,0 \rangle = \exp({\xi}^{*}\hat{a}\hat{b} - \xi \hat{a}^{\dagger} \hat{b}^{\dagger} \vert 0,0 \rangle)  \]
여기서 $$\xi = e^{i\theta}$$이고, $$\hat{S}_{2}(\xi)$$는 이중 모드 조임(two-mode squeezing) 연산자이며, 이 상태를 이중 모드 조임 진공(two-mode squeezing) 상태(줄여서 TMSV 상태)라 부른다. 참고로, TMSV 상태는 단일 모드 조임 상태 두 개를 빔 분할기에 동시에 통과시켜서 생성할 수도 있다.

광자 수 상태 기저를 이용하면, TMSV 상태는 아래와 같이 표현되는데,
\[\vert \text{TMSV} \rangle = \frac{1}{\cosh{r}} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-e^{i\theta} \tanh{r} \right)^{n} \vert n,n \rangle \]
광자수 분포 관점에서 시그널 빔과 아이들러 빔이 동일한 특성을 가지고 있기 때문에, TMSV 상태를 쌍둥이-빔 (twin-beam) 상태 또는 광자쌍들(Photon pairs)이라 부르기도 한다. 쌍둥이-빔 상태는 시그널 빔과 아이들러 빔 간의 광자 수의 완전한 상관관계, 즉 강한 양자 얽힘 특성을 가지고 있어서 <ref name = "Photon-number correlation for quantum enhanced imaging and sensing">[A. Meda ''et al.'', Photon-number correlation for quantum enhanced imaging and sensing, Journal of Optics '''19''', 094002 (2017). doi:[https://doi.org/10.1088/2040-8986/aa7b27 10.1088/2040-8986/aa7b27].</ref>, 이상적인 상황에서 아이들러 빔에서 $$n$$ 개의 광자가 측정이 되면, 시그널 빔에서도 $$n$$ 개의 광자가 측정이 된다. 이를 활용하면, 시그널 빔에 임의의 $$n$$-광자수 상태를 조건적으로 생성할 수 있는데, 단광자 상태를 생성하는데 많이 사용된다.

TMSV 상태의 각 단일 모드는 다음과 같은 표현되는 열적 상태(thermal state)와 동일한 광자 수 분포 특성을 갖는다.
\[ \rho = \frac{1}{\cosh^{2}{r}} \sum_{n=0}^{\infty}  \tanh^{2n}{r} \vert n \rangle \langle n \vert \]
즉, 각 모드의 빛의 세기를 측정하면 열적 분포를 따른다. 반면, 두 모드의 빛의 세기의 차이, 즉 광자 수 차이를 측정하면, 이상적인 상황에서 항상 $$0$$의 값이 측정되고, 측정 노이즈도 $$0$$이며 이는 다음과 같이 표현된다.
\[ \langle \text{TMSV} \vert \Delta \left(\hat{n}_b - \hat{n}_a  \right)^{2} \vert \text{TMSV} \rangle = 0 \]
여기서 $$\hat{n}_a = \hat{a}^{\dagger} \hat{a} $$와 $$\hat{n}_b = \hat{b}^{\dagger} \hat{b} $$는 각 모드의 광자 수 연산자이다. 이는 두 모드 간의 광자 수끼리 완전한 상관관계를 갖고 있음을 뜻한다 <ref name = "Photon-number correlation for quantum enhanced imaging and sensing"></ref>.

요약:

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