양자역학 개요 편집하기 (부분)

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= POVM (Positive Operator-Valued Measure) =

양자 측정의 일반화된 표현으로서 POVM은 [[양자정보]], [[양자연산]] 분야에서 광범위하게 사용되는 측정 표현방식이다. POVM 측정은 완전성 관계 $$\sum_{m}{ M_{m}}=I$$를 만족하는 양행렬들(positive matrices)의 집합이며, $$M_{m}$$은 POVM 요소(또는 원소, element)라 부른다. 주어진 양자 상태 상태 $$\left| \psi \right\rangle$$에 대해 POVM 요소와 측정값 $$m$$을 얻을 확률 $$p(m)$$ 사이의 관계는 다음과 같다. $$p(m)=\left\langle \psi \right|M_{m}\left| \psi \right\rangle$$. 이로부터, POVM 요소의 합이 연산자 $$I$$가 되는 것은 확률 합이 1이 되는 조건에 기인한다. POVM은 하나의 에르미트 연산자로 표현되는 투영측정(projective measurement)과 구분되며, POVM 방식이 투영측정 표현 방식을 포함한다. 하나의 투영측정 $$P$$가 있다고 가정하자. 이 때 투영측정은 에르미트 연산자로 표현되므로, 투영측정 $$P는$$ 측정값 $$m$$과, 이에 해당하는 투영자 $$P_{m}$$에 대하여 다음과 같은 고유값 분해 방식(eigenvalue decomposition, spectral decomposition)으로 표현가능하다. 즉, $$P=\sum_{m}{mP_{m}}$$이고,  $$\sum_{m}{ P_{m}}=I$$를 만족한다. 투영측정 표현방식에서 측정값 $$m$$을 얻을 확률은 다음과 같이 $$p(m)= \left\langle \psi \right|P_{m}^{\dagger}P_{m}\left| \psi \right\rangle$$로 주어진다. 따라서 제곱 연산에 대해 동일한 투영자 성질에 의해 투영측정 $$P$$는 항상 POVM 요소 $$M_{m} =P_{m}^{\dagger}P_{m}= P_{m}$$의 집합으로 표현가능함을 알 수 있다.<ref name =Nielsen>M. A. Nielsen and I. L. Chuang, ''Quantum computation and quantum information'' (Cambridge University Press, 2002).</ref> POVM 표현방식은 측정 상황을 편의적으로 기술하는 목적을 넘어 물리적인 중요성을 갖는 표현방식이다. 예컨대 POVM 측정을 사용하면 투영측정을 사용한 방식에 비해 더 높은 정도의 난수성 증명이 가능하다는 것이 최근 증명된 바 있다.<ref name=Acín>A. Acín, S. Pironio, T. Vértesi, and P. Wittek, Optimal randomness certification from one entangled bit, Physical Review A '''93''', 040102 (2016). doi:[https://doi.org/10.1103/PhysRevA.93.040102 10.1103/PhysRevA.93.040102].</ref>

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