양자 센서 (Quantum Sensor)

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=양자 계측 (Quantum Metrology)

양자 계측 (Quantum Metrology)

계측 (Metrology) 이란?

계측이란 우리가 알고자 하는 정보를 얻기 위해 물리량을 측정하고 추정하는 총체적인 과정을 뜻한다. 국제단위계를 정의하고 측정하는 문제를 비롯해서, 자기공명영상 촬영, 바이러스 진단 검사, 군사 목표물 감지, 지질조사, 자율 차 및 드론 센서, 중력파 검출 등과 같이 측정과 관련된 문제들을 전반적으로 다룬다. 양자 계측(quantum metrology)이란 양자 계(quantum system)만이 갖는 성질[예: 양자 얽힘(quantum entanglement), 조임(squeezing), 양자화된 에너지 준위(level), 결맞음(coherence) 등]을 활용하여 고전 계(classical system)로는 달성할 수 없거나 혹은 제한된 조건에서 더 뛰어난 민감도(sensitivity), 정밀도(precision), 분해능(resolution)을 달성하는 방법을 연구하는 분야이다.

양자 계측은 계측 대상과의 상호작용을 겪은 양자 시스템의 변화를 살펴보는 것으로, 그 방식에 따라 편의상 두 가지 종류로 나눌 수 있다. 첫째, 양자 빛을 계측 대상에 입사시키고, 투과 혹은 반사된 빛의 양자 상태의 변화를 살펴보는 방법이다. 둘째, 계측 대상의 영향을 받고 있는 양자 시스템에 고전 빛을 입사시키고, 투과 혹은 반사된 빛의 특성을 살펴보는 방법이다.

양자 계측은 위 분류와 관계없이 일반적으로 네 가지 단계로 이해할 수 있다.

1) 양자 상태 초기화(initialization): 계측 대상과 상호작용할 양자계의 초기 상태를 적절히 준비한다.

2) 상호작용(interaction): 위에서 준비된 양자 계를 적절한 방법을 통해서 계측 대상과 상호작용시킨다. 이 과정을 통해서 양자 계의 상태 변화가 발생한다.

3) 측정(measurement): 적절한 측정 장치를 사용해서, 양자계의 상태의 변화를 측정한다.

4) 추정(estimation): 적절한 추정자(estimator)를 사용해서, 측정값을 토대로 실제 값을 추정한다.

따라서, 좋은 계측을 하기 위해서는 각 단계들을 적절하게 혹은 최적의 방법으로 수행하는 것이 필요하다. 이를테면, 계측에 유용한 양자적 특성을 가진 양자 상태를 준비하거나, 상호작용의 세기를 키우거나, 가장 많은 정보를 줄 수 있는 측정을 수행하거나, 가장 좋은 추정 방법을 사용할 수 있다. 최적의 방법론을 찾고, 실험적으로 구현하는 것이 양자 계측 연구의 핵심이다.

계측 오차

계측을 통해 얻어낸 추정(estimation) 값들과 실제(true) 값의 평균적인 차이를 통해서 계측의 성능을 살펴볼 수 있다. 이는 평균 제곱 오차(mean squared error)를 통해 정량화 가능하고, 다음과 같이 정의된다. \[\text{MSE}[\hat{x}]= \langle(x_{\text{est}} - x )^2 \rangle \] 여기서 $$x_{\text{est}}$$ 크기가 $$\nu$$인 표본에 대한 측정 결과들을 토대로 실제 값 $$x$$를 추정 한 값이고 $$\langle \cdots \rangle $$는 크기가 $$\nu$$인 모든 표본에 대한 평균이다. 위 식은 아래와 같이 전개가 가능하며 \[\text{MSE}[\hat{x}]= \langle(x_{\text{est}} - \langle x_{\text{est}} \rangle )^2 \rangle + \langle( \langle x_{\text{est}} \rangle - x )^2 \rangle \] 이때 첫 번째 항의 추정 값의 분산 $$\Delta x^{2}_{\text{est}} $$으로, 다양한 표본에 대한 추정 값들이 서로 얼마나 비슷한 지 나타내는 정밀도(precision)와 관련이 있다. 그리고 두 번째 항은 추정 값이 평균적으로 실제 값과 얼마나 가까운지를 나타내는 정확도(accuracy)와 관련이 있다. 정확도는 계측 장치의 보정과 관련되어 있으며 대개의 경우 $$\langle x_{\text{est}}\rangle=x $$를 만족시키는 비편향 추정자(unbiased estimator)를 사용하기 때문에, 이 경우 $$\text{MSE}[\hat{x}] = \Delta x^{2}_{\text{est}}$$이므로 평균 제곱 오차를 계측의 정밀도로 취급한다.

상황에 따라 $$\Delta x^{2}_{\text{est}}$$를 추정 오차(estimation error), 추정 정밀도(estimation precision), 추정 불확정도(estimation uncertainty)라 부르기도 한다. 그리고 $$\Delta x^{2}_{\text{est}}$$값이 작으면, 실제 값의 변화를 실험적으로 더 민감하게 감지할 수 있기 때문에, $$\Delta x^{2}_{\text{est}}$$를 때로는 민감도(sensitivity)라 부르기도 한다.

크래머-라오 (Cramér-Rao) 부등식

계측(그림 2 참조)에서 비편향 추정자를 사용하는 경우에, 계측오차 $$\Delta x_{\text{est}}$$는 크래머-라오 한계(Cramér-Rao bound - CRB)라 불리는 하한(lower bound)을 갖고, 이는 다음과 같이 표현된다. \[\Delta x_{\text{est}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F(x)}} \] 여기서 $$\nu$$는 측정 횟수(즉, 표본의 크기), $$F(x)$$는 $$F(x)=\sum_{y} \frac{1}{p(y|x)}\left(\frac{\partial p(y|x)}{\partial x} \right)^2$$으로 정의된 피셔 정보(Fisher information)이고 , $$p(y|x)$$는 실제 값이 $$x$$일 때 측정값 $$y$$를 얻을 확률이다. 측정값 $$y$$를 얻을 확률이다. 측정값 $$y$$가 연속적인 값을 갖는 경우에는 피셔 정보의 정의에서 $$\sum_y$$는 $$\int dy$$로, 확률 $$p(y|x)$$는 확률 밀도 함수로 대체된다. 여기서 피셔 정보는 측정값으로부터 얻어낼 수 있는 $$x$$에 대한 정보량을 뜻한다. 위의 부등식을 크래머-라오 부등식이라 부르고, CRB는 가장 좋은 비편향 추정자를 사용하면 도달할 수 있다. 특별히, 최대 가능성 추정자(maximum-likelihood estimator)를 사용하면 $$\nu$$가 매우 클 때 CRB에 일반적으로 도달할 수 있다. 따라서, CRB는 주어진 초기 양자 상태, 상호작용, 측정 방법에 대해서 최적의 비편향 추정자를 사용해서 도달 가능한 계측 오차 값이다.

피셔 정보 $$F(x)$$는 물리 계, 상호작용, 그리고 측정 방법에 의존한다. 만약, 최적의 측정 방법을 사용하는 경우에는 피셔 정보 $$F(x)$$값을 최대화할 수 있고, 이에 따라 계측 오차의 하한을 더욱 낮출 수 있으며, 다음과 같이 표현된다. \[\Delta x_{\text{est}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F(x)}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F_{\text{Q}}(x)}} \] 여기서 $$F_{\text{Q}}(x)$$는 최적의 측정 방법에 의해 최대화된 피셔 정보이고, 이를 양자 피셔 정보(quantum Fisher information)라 부른다. 그리고 더 낮아진 하한을 양자 크래머-라오 한계 (Quantum Cramér-Rao bound - QCRB)라 부르고, 위 부등식을 양자 크래머-라오 부등식이라 부른다. 따라서, QCRB는 주어진 초기 양자 상태와 상호작용에 대해서, 최적의 측정 방법과 최적의 비편향 추정자를 사용해서 도달 가능한 계측 오차 값이다.

양자 피셔 정보는 $$F_{\text{Q}}(x)$$는 초기 양자 상태와 상호작용의 종류에 따라 다른 값을 가지는데, 특정 상호작용 형태가 주어져 있을 때, 최적의 양자 상태를 사용을 하면 양자 피셔 정보를 최대화할 수 있고, 이에 따라 계측오차의 하한을 궁극적으로 낮출 수 있다. \[\Delta x_{\text{est}}\geq \frac{1}{\sqrt{\nu F(x)}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F_{\text{Q}}(x)}} \geq \frac{1}{\sqrt{\nu F_{\text{UQL}}(x)}} \] 여기서 $$F_{\text{UQL}}(x)$$는 최적의 양자 상태에 의해 최대화된 양자 피셔 정보이다. 이 하한의 의미는 주어진 상호작용에 대해서, 최적의 초기 양자 상태와 최적의 측정 방법과 최적의 비편향 추정자를 사용해서 도달 가능한 계측 오차이며, 이를 궁극적 양자 한계 (ultimate quantum limit)라 부르기도 한다.

표준 양자 한계 (Standard quantum limit)과 하이젠베르크 스케일링(Heisenberg scaling)

크래머-라오 부등식을 통해서 알 수 있듯이, 양자 계측에서는 적절한 초기 양자 상태와 적절한 측정 방법을 사용하면, 고전적인 방법보다 계측 오차를 더 낮출 수 있다. 이에 대한 정량적인 비교 분석을 위해, 고전 상태를 사용하는 계측의 QCRB와 양자 상태를 사용하는 계측의 QCRB를 비교한다.

고전상태를 사용하는 계측의 QCRB는 고전상태의 평균 에너지($$N$$)에 반비례($$\Delta x^{2}_{\text{est}} \propto N^{-1}$$)한다. 특별히, 최적의 고전 상태에 의해 최소화된 QCRB를 표준 양자 한계(standard quantum limit)라고 부르며, 이 용어는 Caves의 1981년 PRD 논문에서 표준 측정 장비들을 이용했을 때 달성할 수 있는 계측의 한계라는 뜻으로 사용되었다.

양자 상태를 사용하는 계측의 QCRB는, 사용하는 양자 상태에 따라서 표준 양자한 계보다 크거나 작을 수 있다. 적절한 양자 상태를 사용하면, QCRB가 양자 상태의 평균 에너지의 제곱(($$N^2$$))에 반비례($$\Delta x^{2}_{\text{est}} \propto N^{-2}$$)하는 경우들을 볼 수 있는데, 이와 같은 스케일링을 특별히 하이젠베르크 스케일링이라 부른다. 최근의 몇몇 연구들은 하이젠베르크 스케일링을 뛰어넘는 계측 오차($$\Delta x^{2}_{\text{est}} \propto N^{n<-2}$$)에 대한 결과를 보고하기도 하였지만, 계측에 사용된 전체적인 리소스 관점에서 $$N$$을 엄밀하게 정의할 경우, 하이젠베르크 스케일링보다 더 큰 스케일링은 불가능하다는 연구가 보고된 적이 있다.

빛을 사용한 양자 계측

양자 빛을 계측 대상에 직접 입사시키고, 투과 혹은 반사된 양자 빛의 상태 변화를 측정함으로써 계측 대상의 특성을 분석하는 양자 계측 방법론을 살펴볼 것이다. 위에서 크래머-라오 부등식을 통해서 보았듯이, 고전 계측 대비 양자 이득을 얻기 위해서는 주어진 상황에 맞게 적절한 혹은 최적의 양자 상태와 양자 측정을 사용하는 것이 필요하다.

여러가지 양자 상태들의 소개

임의의 양자상태를 생성하는 것은 일반적으로 어렵다. 아래에서는 양자광학센싱에서 사용되는 대표적인 양자상태들과 생성방법에 대해서 살펴본다.

광자 수 상태

주어진 모드에서 양자화된 빛의 자유-해밀토니안(Free-Hamiltonian)의 에너지 고유 상태(eigenstate)를 광자 수 상태(photon-number state)로 정의하고, 이에 대응되는 에너지 고윳값(eigenvalue)을 광자 수(photon number)라 부른다. 즉, 광자 수 상태란 빛의 불연속적인 에너지 준위 상태를 뜻하고, 단일 모드(single mode)에서 아래와 같이 표현된다. \[ \vert N \rangle = \frac{({\hat{a}}^{\dagger})^{N}}{\sqrt{N!}} \vert 0 \rangle \] 여기서 $$\vert 0 \rangle$$는 진공 상태이고 $$ \hat{a}^{\dagger} $$는 해당 보존 모드의 생성(creation) 연산자이다.

$$N=1$$인 단광자(single photon) 상태 $$\vert 1 \rangle$$는 물리계의 상태가 높은 에너지 준위(level)에서 낮은 에너지 준위로 전이(transition)가 일어날 때, 자발 방출(spontaneous emission) 과정을 통해서 생성될 수 있다. . 자발 방출을 이용한 단광자 생성은 확률적으로 발생하기 때문에, 단광자가 언제 생성되는지 알 수 없는 단점이 있다. 그래서 아래에서 소개할 쌍둥이-빔(twin-beam) 상태를 사용하는 예고(heralding) 방법이 주로 사용된다. 이는 idler beam에서 단광자가 측정이 되면, signal beam의 상태가 단광자 상태임을 확실히 알 수 있는 광자 수 상관관계를 이용한다.

$$N>1$$인 임의의 광자 수 상태의 생성은 일반적으로 매우 어렵다. 단광자를 생성하는 방법과 비슷하게 쌍둥이-빔 상태를 사용해서 $$N$$-광자수 상태를 조건적으로 생성할 수 있지만 , $$N$$이 클수록 생성 확률 또는 생성 빈도수가 극도로 낮아지기 때문에 실용성이 떨어진다. 일반적으로, 임의의 광자 수 상태를 생성하기 위해서는 비선형(nonlinear) 유니타리(unitary) 연산이 필수적인데 , 원자(atom)-공동(cavity) 상호작용을 이용하거나 , 비선형 물질을 이용하여 비선형 유니타리 연산을 근사적으로 구현할 수 있는 방법들이 제안되었다. 한편, 비선형 연산은 측정이란 과정을 통해서도 효과적으로 구현될 수 있는데, 공동(cavity)을 통과한 원자들의 상태 측정을 통해 공동(cavity) 내에 광자 수 상태를 생성하는 방법과 비선형 매질로 구성된 간섭계를 통과한 빛의 상태 측정을 통해 간섭계의 다른 출력 모드에서 광자수 상태를 생성하는 방법이제안되었다.

결맞음 상태 (Coherent state)

모든 차수($$n=1,2,3, \cdots$$)에 대해 $$n$$차 양자 결맞음 함수(nth-order quantum coherence function)값이 $$1$$인 단일 모드(single-mode) 양자 상태를 결맞음(coherent) 상태라 부르고, 광자 수 상태 기저들을 이용해 나타내면 다음과 같이 표현된다.

여기서 $$\vert n \rangle$$는 $$n$$-광자 수 상태이고, $$\alpha$$는 $$\alpha = \vert \alpha \vert e^{i \theta} $$와 같이 복소수로 표현된다. 결맞음 상태를 구성하는 광자수의 분포는 다음과 같은 푸아송(Poisson) 분포를 따르는데 \[ P_{n} = \vert \langle n \vert \alpha \rangle\vert^{2} =e^{-\vert \alpha \vert^2} \frac{\vert \alpha \vert^{2n}}{n!} \] 이로부터, 결맞음 상태의 광자 수 평균은 $$\langle \hat{n}\rangle = \vert \alpha \vert^2$$이고, 광자 수 분산은 $$\langle ( \Delta \hat{n})^2 \rangle = \vert \alpha \vert^2$$임을 알 수 있다. 즉, 결맞음 상태의 빛의 세기(intensity)는 $$\vert \alpha \vert^2$$에 비례한다. 이 결맞음 상태를 $$X$$(일반화 위치 좌표)와 $$P$$(일반화 운동량 좌표)로 구성된 위상공간에서 나타낼 수 있는데, 공동(cavity) 내의 빛의 상태의 경우 좌표값 $$X$$와 $$P$$는 전기장과 자기장에 각각 대응되고, 결맞음 상태의 전자기장 평균값은 고전 전자기학에서의 광원이 없는 전자기장과 동일한 꼴을 갖는다. 결맞음 상태는 변위(displacement) 연산자 $$\hat{D}(\alpha) = \exp(\alpha \hat{a}^{\dagger} - \alpha^{*}\hat{a})$$를 이용해서 $$\vert \alpha \rangle = \hat{D}(\alpha) \vert 0 \rangle $$와 같이 표현되는데, 이는 위상공간에서 원점에 위치한 진공 상태를 $$\theta$$방향으로 $$\vert \alpha \vert $$값에 비례하는 길이만큼 이동(displace)시킨 상태를 뜻한다. 적절한 정규화를 통해서 $$X$$와 $$P$$를 대칭적으로 정의하면, 결맞음 상태에 대한 $$X$$와 $$P$$의 표준편차는 $$\Delta X = \Delta P = \frac{1}{\sqrt{2}}$$로 ($$\alpha$$값과 상관 없이) 주어지고, 이 둘의 곱은 $$X$$와 $$P$$에 대한 하이젠베르크 불확정성(uncertainty) 부등식에서의 등식을 만족시킨다. 게다가 $$\Delta X \Delta P$$ 값은 시간에 따라 결맞음 상태의 위상($$\theta = wt$$)이 바뀌는 동안에도 최소 불확정도를 여전히 유지한다. 이를 바꿔서 말하면, 임의로 회전된 좌표축 $$X' = X\cos{\theta} - P\sin{\theta}$$, $$P' = X\sin{\theta} + P\cos{\theta}$$에 대해서도 $$\Delta X' \Delta P'$$값은 항상 동일하다는 뜻이다. 이와 같이, 결맞음 상태는 고전계와 유사한 특성들을 나타내기 때문에, 결맞음 상태를 가장 고전적인 양자 상태라고 부른다.

한편, $$\alpha=0$$인 결맞음 상태는 진공 상태이고, 진공 상태의 $$\Delta X' \Delta P'$$ 값은 임의의 결맞음 상태 $$\vert \alpha \rangle$$의 $$\Delta X' \Delta P'$$ 값과 동일하다. 즉, $$\alpha$$ 값과 상관없이, 결맞음 상태는 $$X'$$와 $$P'$$에 대해 항상 최소 불활정도를 갖는다.

빛의 결맞음 상태는 일반적으로 레이저(LASER)를 통해서 생성된다 . 레이저(LASER), 즉 복사 유도 방출에 의한 광증폭 과정을 통해서 생성되는 광자들은 위상뿐 아니라, 모드 특성(진행 방향, 편광 방향, 파장 등)들이 서로 같은 간섭성이 매우 큰 빛이다. 그리고 레이저를 통해서 생성된 빛의 광자 수의 분포 역시 푸아송 분포를 따른다.

조임 상태 (Squeezed state)

물리적인 상태가 위상공간 (Phase space)에서 특정 방향에 대해서 조여진 형태로 표현될 때, 그 상태를 조임 상태(Squeezed state)라 부른다. 가장 대표적인 조임 상태는 조임 진공 상태(squeezed vacuum state)이며, 이를 광자 수 상태 기저들을 이용해 나타내면 다음과 같다. \[\vert \xi \rangle = \frac{1}{\sqrt{\cosh{r}}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}{\tanh^{n}{r}}e^{in\theta} \frac{\sqrt{(2n)!}}{n! 2^{n}} \vert 2n \rangle \] 위 식에서 알 수 있듯이, 조임 진공 상태는 짝수 광자 수 상태들로 구성되어 있고, 조임 진공 상태의 광자 수 분포는 다음과 같다. \[P_{2n+1} = \vert \langle 2n-1 \vert \xi \rangle \vert^2 =0 \] \[P_{2n} = \vert \langle 2n \vert \xi \rangle \vert^2 = \frac{\tanh^{2n}{r}}{\cosh{r}} \frac{(2n)!}{n! 2^{2n}} \] 조임 진공 상태는 조임 연산자 $$\hat{S}(\xi)= \exp{(\frac{1}{2}\xi^{*} {\hat{a}}^{2} - \frac{1}{2}\xi {\hat{a}}^{\dagger 2}})$$를 사용해서 $$\vert \xi \rangle = \hat{S}(\xi) \vert 0 \rangle$$로 표현되는데 여기서 $$\xi = r e^{i \theta}$$이고, 이는 위상공간에서 원점에 위치한 진공상태를 $$x$$축의 양의 방향으로부터 $$\frac{\theta}{2}$$만큼 회전시킨 방향으로 조인 상태를 뜻한다. (이때 조여진 정도는 $$r$$에 의존한다.) 그래서 조임 진공 상태는 여전히 원점에 위치하지만(즉, $$\hat{X}$$와 $$\hat{P}$$의 평균은 각각 $$0$$), 조임 연산자에 의해 조여진 만큼 $$\hat{X}$$와 $$\hat{P}$$의 표준편차에 변화가 생긴다. 조임 위상이 $$\theta = 0$$인 경우에는 $$\Delta \hat{X} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-r}$$, $$\Delta \hat{P} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{r}$$로 각각 간단하게 표현되며, 이 둘의 곱은 $$\Delta \hat{X} \Delta \hat{P} = \frac{1}{2}$$이다. 즉, 결맞음 상태와 마찬가지로 조임 진공 상태도 $$ \hat{X}$$와 $$ \hat{P}$$에 대한 하이젠베르크 불확정성(uncertainty) 부등식에서 등식을 만족시킨다. 그러나 임의의 방향으로 조여진 경우에는 $$\Delta \hat{X} \Delta \hat{P}$$의 값이 $$\frac{1}{2}$$보다 큰 값을 가질 수도 있는데, 이는 조임 진공 상태의 $$\hat{X}$$와 $$\hat{P}$$에 대한 불확정도가 조임 방향 $$\theta$$에 따라 달라지기 때문이다. 이 경우에는 $$\frac{\theta}{2}$$만큼 회전된 연산자 $$\hat{X}'$$, $$\hat{P}'$$에 대한 불확정도를 살펴보면, 여전히 최소 불확정도를 가지는 것을 알 수 있다.

위에서 살펴봤듯이, 조임 진공 상태는 특정 위상 방향에 대한 위상 불확정도가 진공 혹은 결맞음 상태보다 더 작기 때문에, 위상-조임 상태(phase-squeezed state)라 부르기도 한다. 즉, 위상에 대한 불확정도를 결맞음 상태보다 더 줄일 수 있기 때문에, 조임 진공 상태는 빛의 위상 계측 문제에서 매우 유용하게 사용된다.

조임 진공 상태는 자발 매개 하향 변환(spontaneous parametric down-conversion - SPDC)이란 비선형 과정을 통해서 생성할 수 있다. SPDC 과정은 빛이 비등방성(anisotropic) 비선형(nonlinear) 매질을 투과할 때 발생하고, 일반적으로 Signal beam과 Idler beam의 쌍으로 출력된다. 빛의 입사 각도에 따라서 출력빔들의 편광 방향이 서로 같은 Type I과 출력빔들의 편광 방향이 서로 다른 Type II로 분류되며, 위에서 소개한 조임 진공 상태는 Type I SPDC 과정을 통해 출력되는 빔들이 모두 같은 파장과 같은 진행 방향을 가지는 완전히 겹쳐있는(degenerate) 경우에 생성되는 빛이다.

NOON 상태 (NOON state)

$$N$$개의 광자가 두 개의 모드에 걸쳐서 강하게 얽혀있는 다음과 같이 정의된 양자 상태를 NOON 상태라 부른다. \[ \vert NOON \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\vert N \rangle_{a}\vert 0 \rangle_{b} + \vert 0 \rangle_{a}\vert N \rangle_{b}) \] NOON 눈 상태는 첫 번째 모드에 $$N$$ 개의 광자가 있는 상태와 두 번째 모드에 $$N$$ 개의 광자가 있는 상태의 양자 중첩 상태이며, 한 모드에서 $$N$$ 개의 광자가 발견되면, 다른 모드는 항상 진공 상태인 특성을 가진 양자 얽힘 상태이다. 그리고 각 모드의 평균 광자 수는 $$N/2$$이고, 전체적인 평균 광자 수는 $$N$$이다.

$$N=2$$인 NOON 상태는 홍-오우-만델(Hong-Ou-Mandel) 효과를 통해서 비교적 쉽게 생성할 수 있지만, $$N>2$$인 NOON 상태는 일반적으로 만들기가 어렵다. 선형광학계를 통과한 빛에 후선택 측정 방법을 적용해서 조건적으로 생성하는 방법이 있고, 다른 방법으로는 결맞음 상태와 조임 상태를 빔 분할기(beam splitter)에 입사시켜서 생성하는 방법이 있다.

쌍둥이-빔 상태 (Twin-beam state)

위에서 소개한 SPDC 과정을 통해서 생성되는 Signal beam과 Idler beam이 서로 다른 단일 모드 특성 (예: 진행 방향, 파장 등)을 가질 때, 그 출력광의 양자 상태는 아래와 같이 표현된다. \[\vert \text{TMSV} \rangle = \hat{S}_{2}(\xi) \vert 0,0 \rangle = \exp({\xi}^{*}\hat{a}\hat{b} - \xi \hat{a}^{\dagger} \hat{b}^{\dagger} \vert 0,0 \rangle) \] 여기서 $$\xi = e^{i\theta}$$이고, $$\hat{S}_{2}(\xi)$$는 이중 모드 조임(two-mode squeezing) 연산자이며, 이 상태를 이중 모드 조임 진공(two-mode squeezing) 상태(줄여서 TMSV 상태)라 부른다. 참고로, TMSV 상태는 단일 모드 조임 상태 두 개를 빔 분할기에 동시에 통과시켜서 생성할 수도 있다.

광자 수 상태 기저를 이용하면, TMSV 상태는 아래와 같이 표현되는데, \[\vert \text{TMSV} \rangle = \frac{1}{\cosh{r}} \sum_{n=0}^{\infty} \left(-e^{i\theta} \tanh{r} \right)^{n} \vert n,n \rangle \] 광자수 분포 관점에서 Signal beam과 idler beam이 동일한 특성을 가지고 있기 때문에, TMSV 상태를 쌍둥이-빔 (twin-beam) 상태 또는 광자쌍들(Photon pairs)이라 부르기도 한다. 쌍둥이-빔 상태는 Signal beam과 idler beam 간의 광자 수의 완전한 상관관계, 즉 강한 양자 얽힘 특성을 가지고 있어서, 이상적인 상황에서 idler beam에서 n 개의 광자가 측정이 되면, signal beam에서도 n 개의 광자가 측정이 된다. 이를 활용하면, signal beam에 임의의 n-광자수 상태를 조건적으로 생성할 수 있는데, 단광자 상태를 생성하는데 많이 사용된다.

TMSV 상태의 각 단일 모드는 다음과 같은 표현되는 열적 상태(thermal state)와 동일한 광자 수 분포 특성을 갖는다. \[ \rho = \frac{1}{\cosh^{2}{r}} \sum_{n=0}^{\infty} \tanh^{2n}{r} \vert n \rangle \langle n \vert \] 즉, 각 모드의 빛의 세기를 측정하면 열적 분포를 따른다. 반면, 두 모드의 빛의 세기의 차이, 즉 광자 수 차이를 측정하면, 이상적인 상황에서 항상 0의 값이 측정되고, 측정 노이즈도 0이며 이는 다음과 같이 표현된다. \[ \langle \text{TMSV} \vert \Delta \left(\hat{n}_b - \hat{n}_a \right)^{2} \vert \text{TMSV} \rangle = 0 \] 여기서 $$\hat{n}_a = \hat{a}^{\dagger} \hat{a} $$와 $$\hat{n}_b = \hat{b}^{\dagger} \hat{b} $$는 각 모드의 광자 수 연산자이다. 이는 두 모드 간의 광자 수끼리 완전한 상관관계를 갖고 있음을 뜻한다.

여러 가지 측정 방법들의 소개

일반적으로, 임의의 관측 가능량(observable)을 측정(measurement)하는 것을 실제로 구현하기는 어렵다. 아래에서는 양자광학 센싱에서 사용되는 대표적인 측정 방법들에 대해서 살펴본다.

단광자 검출 (Single-photon detection)

양자광학 센싱 뿐 아니라 다양한 양자광학 실험에서 가장 널리 사용되는 측정기는 단광자 한계점(single-photon-threshold) 검출기이다. 이를 줄여서 단광자 검출기라 부른다. 단광자 검출기는 해당 모드에서, 단광자 이상의 빛의 에너지와 단광자보다 작은 빛의 에너지, 즉 진공을 정확하게 구분한다. 다시 말해, 광자가 하나라도 있는 경우(‘on’)와 아예 없는 경우(‘off’)를 구분하기에, 관용적으로 on-off 검출기라 부르기도 한다. 보다 일반적으로, 임의의 $$m$$-광자 에너지를 한계점으로 사용하는 검출 장치도 연구되었지만, 다양한 양자 응용기술에서 단광자와 진공을 구분하는 것이 훨씬 더 중요하기 때문에, 대부분 단광자 검출기를 실험에서 사용한다. 임의의 빛에 대해서, 단광자 검출기는 ‘on’이나 ‘off’라는 측정 결과를 주고, 각각의 측정 결과에 대응되는 이상적인 단광자 검출기의 projector는 다음과 같이 표현된다. \[ \hat{\Pi}_{\text{off}} = \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \] \[ \hat{\Pi}_{\text{on}} = \mathbb{I} - \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \] 이를 사용하면 주어진 양자 상태 $$\rho_{x}$$에 대한 측정 확률 $$p(y \vert x) = \Tr \left[\hat{\Pi}_{y} \rho_{x} \right]$$을 계산할 수 있고, 이에따라 피셔 정보 값 $$F(x)$$를 구할 수 있다. 위 projector는 이상적인 단광자 검출기에 관한 것이고, 실제 단광자 검출기는 측정 효율(detection efficiency), 다크 카운트(dark count) 등의 현실적 요소들을 포함한 projector들을 사용해서 기술해야 한다.

단광자 검출기는 크게 두 가지 방법으로 실험에서 사용된다. 첫 번째는 광전류의 증폭 기능이 있는 포토다이오드(photondiode)인 어발란체 포토다이오드(avalanche photodiode - APD)를 사용하는 것이고, 두 번째는 흡수된 빛에 의해 초전도 상태가 깨지는 현상을 활용한 초전도 나노와이어 단광자 검출기(superconducting nanowire single-photon detector - SNSPD)를 사용하는 것이다.

광자 수 분해 검출 (Photon-number resolving detection)

위의 단광자 검출기는 광자의 존재를 명확하게 검출하지만, 광자 수의 분포를 측정할 순 없다. 광자 수 분포를 측정하는 것은 기초연구와 응용연구에서 모두 중요한데, 광자 수의 분포를 측정하는 장치를 광자 수 분해 검출기(photon-number-resolving detector) 또는 광자 수 계수기(photon-number counter)라 부른다.

광자 수 분해 검출기는 광자 수 $$n$$에 대한 측정 결과를 주고, 각 측정 결과에 대한 이상적인 광자 수 분해 검출기의 projector는 다음과 같이 표현된다. \[ \hat{\Pi}_{n} = \vert n \rangle \langle n \vert \] 마찬가지로, 이를 사용하면 주어진 양자 상태 $$\rho_{x}$$에 대한 측정 확률 $$p(y \vert x) = \Tr \left[\hat{\Pi}_{y} \rho_{x} \right]$$과 피셔 정보 값 $$F(x)$$를 모두 구할 수 있고, 현실적인 요소들이 반영된 projector들을 사용하면 실제 광자 수 분해 검출기의 작동을 잘 기술할 수 있다.

양자광학 실험에서 광자 수 분포는 공간적(spatial)/시간적(temporal) 멀티플렉서(multiplexer)와 여러 개의 단광자 검출기를 사용해서 주로 측정한다. Multiplexer란 입사된 빛을 $$M$$ 개의 공간 모드나 시간 모드로 나눠주는 역할을 하는데, 이때 입사된 빛의 평균 에너지보다 $$M$$이 충분히 크다면, 멀티플렉서의 각 출력 포트에서 두 개 이상의 광자가 발견될 확률은 거의 0에 가깝다. 따라서, 단광자 검출기를 이용해서 광자가 발견되는 출력 포트의 개수를 세면, 입사된 빛의 광자 수를 근사적으로 잘 측정할 수 있다. 한편, 최근에는 흡수된 광자 수에 따른 온도변화를 측정하는 Transition edge sensor에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다.

호모다인 검출 (Homodyne detection)

빛의 위상(phase)은 이미 위상을 알고 있는 다른 빛과 간섭시킴으로써 측정할 수 있다. 대표적인 방법은 통신 기술에서 많이 활용되고 있는 호모다인(homodyne) 간섭계 또는 호모다인 검출이란 방법을 사용하는 것이다. 양자광학에서 사용되는 이상적인 호모다인 검출 projector는 다음과 같이 표현된다. \[ \hat{\Pi}_{X(\phi)} = \vert X(\phi) \rangle \langle X(\phi) \vert \] 여기서 측정값 $$X(\phi)$$는 위상공간에서 $$\phi$$만큼 회전된 $$X$$축의 좌표값에 대응이 되고, $$-\infty$$에서 $$\infty$$까지 연속적인 값을 갖는다. 주어진 $$\phi$$에 대해서 호모다인 검출을 하면, 실수값 $$X(\phi)$$에 대한 확률 분포 $$ p \left(X(\phi)\vert x \right) $$를 얻을 수 있다. $$\phi$$를 바꿔가면서 호모다인 검출을 수행할 경우, 위상값 $$\{ \phi_{1}, \phi_{2}, \phi_{3}, \cdots \}$$ 각각에 대한 확률 분포$$\{ p\left(X(\phi_{1})\vert x\right), p\left(X(\phi_{2})\vert x\right), p\left(X(\phi_{3})\vert x\right), \cdots \} $$를 얻을 수 있고, 이를 활용하면 위상공간에서 준-확률 분포(quasi-probability distribution)로 빛의 양자 상태를 나타낼 수 있다.

양자 광학 계측의 예시

레이저 빛을 사용하는 고전 광학 계측의 정밀도(precision), 민감도(sensitivity), 분해능(resolution)은 입사광의 평균 세기(Intensity)에 따라서 증가한다. 이는 일반적인 레이저 빛의 신호 대 잡음비(signal-to-noise ratio)가 빛의 세기의 제곱근에 반비례하기 때문이다. 그러나 계측 성능을 높이기 위해서 빛의 세기를 무한정 증가시킬 수는 없다. 왜냐하면, 강한 빛에 의해서 측정 시료나 광학 장비들을 구성하는 물질의 분자들이 파괴될 수 있기 때문이다. 따라서, 제한된 빛의 세기, 즉 계측 대상을 통과하는 빛의 평균 광자 수가 $$N$$일 때, 계측 성능을 최대한 높일 수 있는 방법을 찾는 것이 필요하다. 이를 위해, 양자빛을 사용하는 다양한 계측 방법들이 연구 중이며, 고전 빛, 특별히 결맞음 상태를 사용하는 계측 방법에 비해 얼마나 큰 양자 효능(quantum enhancement)을 얻을 수 있는지 정량적으로 분석한다. 빛은 단일 모드 근사 하에서 주어진 시간에 대해, 진폭과 위상, 이 두 개의 정준 변수(canonical variable)들로 잘 기술할 수 있다. 이에 따라, 광학 계측은 (a) 빛의 세기 매개변수 계측과 (b) 빛의 위상 매개변수 계측으로 크게 나눌 수 있다. 더 복잡한 형태의 광학 계측 문제들도, 이 두 가지 분류에 대한 이해를 바탕으로 분석할 수 있다.

빛의 세기 매개변수의 계측

빛이 측정 시료(analyte)를 통과할 때, 시료의 특성에 따라 빛의 투과율(transmittance) 또는 반사율(reflectance)이 달라지는 경우를 생각해 보자. 이 경우, 투과율 또는 반사율을 측정하면 시료의 특성을 분석 및 추정할 수 있는데, 계측 성능은 입사광의 상태와 검출기의 종류에 따라서 달라진다.

빛의 세기 매개변수 계측은 빔 분할기의 투과율 $$T$$를 추정하는 문제로 모델링(modeling) 할 수 있다. 다른 종류의 에너지 손실이나 추가적인 빛의 유입이 없는 경우, 투과율 $$T$$를 추정하기 위해서는 빛을 투과시킨 후에 투과된 빛의 세기($$I_{\text{out}}$$)와 입사된 빛의 세기($$I_{\text{in}}$$)의 비율로 투과율을 간단히 추정할 수 있다. 일반적으로 측정을 $$\nu$$번 반복하고, $$\nu$$번 반복에 대한 평균 값($$\bar{I}_{\text{out}}$$)을 사용해서 투과율을 추정한다. 이 경우, 추정자는 $$T_{\text{est}}=\bar{I}_{\text{out}}/I_{\text{in}}$$으로 표현되고, 빛의 세기 측정은 광자 수 분해 검출 방법과 동일하다.

레이저 빛, 즉 결맞음 상태 $$\vert \alpha \rangle$$를 입사광으로 사용하는 경우, 투과율의 추정 값 계측 오차 $$\Delta T$$는 다음과 같다. \[\Delta T_{\vert \alpha \rangle}=\sqrt{\frac{T}{\nu N}} \]

여기서, $$T$$는 투과율의 실제 값이고, $$\nu$$는 반복 측정 횟수, 즉 표본의 크기이고, $$N$$은 결맞음 상태의 평균 광자 수이다. 이 계측 오차는 $$\sqrt{N}$$에 반비례하는데, 이는 투과된 빛의 광자 수 (또는 빛의 세기) 분포가 Poisson 분포를 따르기 때문이다. 그래서 이를 산탄-잡음 한계(shot-noise limit)라 부르기도 한다.

위의 빔 분할기 투과율 추정 문제에서는 빔 분할기를 통과하는 빛의 세기 변화를 정밀하게 측정해야 한다. 이 경우, 빛의 세기에 대한 불확정도가 가장 작은 빛의 상태를 사용하는 것이 가장 좋다. 그 상태는 바로, 광자 수 상태 $$\vert N \rangle$$이며, 빛의 세기에 대한 불확정도가 0임을 쉽게 확인할 수 있다. 광자 수 상태를 입사광으로 사용하는 경우, 투과율 추정의 계측 오차 $$\Delta T$$는 다음과 같다. \[\Delta T_{\vert N \rangle}=\sqrt{\frac{T(1-T)}{\nu N}} \] 여기서 $$\Delta T_{\vert N \rangle}$$는 $$\Delta T_{\vert \alpha \rangle}$$에 비해 항상 작다는 것을 확인할 수 있고, $$\Delta T_{\vert N \rangle}$$는 투과율 추정 문제에서 계측 오차의 궁극적 양자 한계로 알려져 있다. 한편, 임의의 광자 수 상태 $$\vert N \rangle$$을 생성하는 것은 매우 어렵기 때문에, 광자 수 상태 $$\vert N \rangle$$을 사용해서 계측 오차 $$\Delta T_{\vert N \rangle}$$에 도달하는 것은 실험적으로 구현하기 어렵다. 그러나 단광자 상태 $$\vert 1 \rangle$$를 이용해서 $$\nu N$$번 반복 측정을 하면, 광자 수 상태 $$\vert N \rangle$$을 $$\nu$$번 반복 측정한 것과 동일한 계측 오차 \Delta T_{\vert N \rangle}에 도달할 수 있다. 그래서 실제 실험에서는 단광자가 많이 활용된다.

위와 같이 빛의 세기의 불확정도가 $$0$$인 광자 수 상태를 사용해서 빛의 세기 매개변수를 정밀하게 계측하는 것 외에도, 빛의 세기 차이의 불확정도가 $$0$$인 상태, 즉 쌍둥이-빔(twin-beam) 상태를 사용하는 계측 방법도 있다. 계측 대상을 통과시킨 signal 빔의 빛의 세기와 그대로 보존해둔 idler 빔의 빛의 세기 차이를 측정하는 것이다. 빛의 세기 차이를 측정하는 방법은 공통적으로 존재하는 추가적인 잡음(common excess noise)도 제거할 수 있다는 장점이 있다. 이와 같은 쌍둥이-빔 상태를 사용하는 빛의 세기 매개변수 계측 방법은 특히 양자 이미징(quantum imaging)에서 많이 사용된다.

빛의 위상 매개변수(Phase parameter)의 계측

빛이 측정 시료(analyte)를 통과할 때, 시료의 특성에 따라 빛의 위상(phase)이 달라지는 경우를 생각해 보자. 이 경우, 위상의 변화를 측정하면 시료의 특성을 분석 및 추정할 수 있는데, 빛의 위상은 일반적으로 간섭계를 사용해서 측정할 수 있다. 대표적인 예로는 중력파에 의해 요동치는 간섭 경로를 지나온 빛의 위상을 측정하는 중력파 검출기(즉, 마이켈슨 간섭계)가 있다.

가장 간단하면서도 일반적인 예제인 마흐-젠더(Mach-Zehnder) 간섭계에서 위상차 $$\phi$$를 추정하는 문제를 생각해 보자. 빛의 세기 매개변수 계측 문제와는 달리 최적의 추정자와 최적의 검출기 선택이 단순하지 않기 때문에, QCRB를 살펴봄으로써 계측 오차의 근본적인 한계를 비교할 수 있다.

레이저 빛, 즉 결맞음 상태 $$\vert \alpha \rangle$$가 마흐-젠더 간섭계의 첫번째 입구로 입사되고, 두번째 입구로는 아무것도 입사되지 않는 경우를 생각해보자. 이 입력 상태에 대한 위상 계측 오차 $$\Delta \phi$$는 QCRB를 통해서 다음과 같다. \[\Delta \phi = \frac{1}{\sqrt{\nu N}} \] 여기서, $$N = \vert\alpha\vert^2$$는 간섭계에 입사되는 평균 광자 수 이다. 이 계측 오차는 빛의 세기의 오차는 빛의 세기의 제곱근 즉,$$\sqrt{N}$$에 반비례하는데, 이를 주어진 간섭계에서의 표준 양자 한계(standard quantum limit)라 부른다. C. Caves는 위의 표준 양자 한계를 뛰어넘을 수 있는 방안으로, 결맞음 상태 $$\vert \alpha \rangle$$와 조임 상태 $$\vert \xi \rangle$$를 간섭계의 각각의 입구에 입사시키는 방법을 1981년에 제안하였다. 만약, 결맞음 상태와 조임 상태가 비슷한 밝기를 가진다면 (즉, $$\vert\alpha\vert^2 \simeq \sinh^{2}r \simeq N/2$$), 입사광들의 전체 평균 광자 수 $$N$$($$=\vert\alpha\vert^2+\sinh^{2}r$$)이 매우 클 때, 위상값 추정에 대한 QCRB는 다음과 같이 근사적으로 주어진다. \[\Delta \phi \approx \frac{1}{\sqrt{\nu}N}\] 이 계측 오차는 하이젠베르크 스케일링($$N^{-1}$$)을 따르고, 고전 빛만 사용하는 경우보다 $$\sqrt{N}$$배 더 정밀한 계측이 가능함을 뜻한다.

한편 결맞음 상태와 조임 상태의 빛의 밝기가 많이 차이나는 경우($$\vert\alpha\vert^2 >> \sinh^{2}r \simeq N/2$$ 혹은 $$\vert\alpha\vert^2 << \sinh^{2}r \simeq N/2$$인 경우), 위상 값 추정에 대한 QCRB는 다음과 같다. \[\Delta \phi \approx \frac{e^{-r}}{\sqrt{\nu N}}\] 이 계측 오차는 하이젠베르크 스케일링을 따르지는 않지만, 분모에 있는 $$e^{-r}$$에 의해서 표준 양자 한계보다 더 정밀한 계측이 여전히 가능함을 보여준다.

위에서 소개한 결맞음 상태와 조임 상태를 사용하는 방법 외에도, 간섭계에서 표준 양자 한계 $$\Delta \phi_{\text{SQL}}$$를 뛰어넘을 수 있는 다양한 양자 계측 방법들이 연구되었다. 그중에서 가장 대표적인 방법은 N00N 상태를 계측 대상(예: 두개의 phase shifter)에 바로 통과시키는 방법이다. 이때 변환된 N00N 상태는 (물리적으로 의미가 없는 global phase를 빼고 나면) 아래와 같이 적을 수 있는데, \[\vert N00N \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\vert N0 \rangle + e^{iN \phi}\vert 0N \rangle \right) \] 여기서 $$e^{iN \phi}$$는 NOON 상태가 결맞음 상태(참고: $$\vert \alpha e^{i \phi} \rangle$$)보다 위상 변화 $$\phi$$에 $$N$$배 민감하게 반응함을 의미하고, 이를 super-resolution이라 부른다. Super-resolution 효과를 실험적으로 측정하기 위해서는 위 상태를 50:50 빔 분할기로 간섭시킨 후에 측정하면 된다. NOON 상태는 두 모드 간에 발생하는 위상차를 가장 잘 계측할 수 있는 양자 상태로 알려져 있으며, 위상 계측 오차 $$\Delta \phi$$ 역시 하이젠베르크 스케일링($$N^{-1}$$)을 따른다.

흥미롭게도, 마흐-젠더 간섭계에서 결맞음 상태와 조임 상태가 첫 번째 빔 분할기를 통과하면, (적절한 조건하에서) 근사적인 NOON 상태가 만들어진다. 이것이 결맞음 상태와 조임 상태를 마흐-젠더 간섭계에 사용했을 때, 위상 계측 오차 $$\Delta \phi$$가 하이젠베르크 스케일링을 따르는 이유로 볼 수 있다.

원자 및 인공원자를 사용한 양자 계측 (quantum metrology with atomic system)

원자 및 인공원자를 이용한 양자 계측에서는 외부의 특정 자극에 대한 양자 물리계의 반응을 측정함으로써, 해당 물리계의 상태변화에 영향을 준 계측대상의 특성을 분석하는 양자 계측 방법이다.기본적으로 원자 물리계의 초기 상태와 제어를 높은 충실도로 수행하는 것이 요구되며, 물리계의 최종 양자 상태 측정에는 양자 빛을 사용하는 양자 광학 계측과는 달리 여기서는 결맞은 고전빛(classical coherent light)을 주로 사용한다.

원자를 이용한 양자 계측은 크게 1) 에너지 준위 등 양자화 된 물리량의 변화를 이용한 계측과 2) 양자 결맞음을 바탕으로 양자 물리계의 양자 위상의 반응을 이용한 계측으로 나뉠 수 있다. 이러한 계측에 있어서 양자 얽힘 등의 비고전 상태를 이용하여 고전 계측보다 측정 민감도를 높일 수 있다. 측정에 사용되는 원자 상태는 대체적으로 큐비트와 같은 이준위 시스템 (two-level system)이 사용되며 기본적으로 앞서 양자 계측 파트에서 소개된 순서의 측정을 따른다. 측정 센서 원자계의 해밀토니안을 통해 다음과 같이 기술 할 수 있다.

\[H(t)= H_{0} + H_{V}(t) + H_{\text{control}}(t)\]

$$H_{0}$$는 원래 원자 시스템이 가지고 있는 해밀토니안이고 이를 알고 있다고 가정한다. $$H_{\text{control}}(t)$$는 센서 큐비트 양자 상태 조작을 위한 게이트에 해당하는 해밀토니안이다. 궁극적으로 계측하고자 하는 해밀토니안 $$H_{V}(t)$$을 통해 포텐셜 $$V(t)$$를 검출하는 것이 목표이다. 이를 도출하기 위한 일반화된 센싱 프로토콜은 아래와 같다.

1) 원자 센서의 양자 상태를 $$\left| \left. 0 \right\rangle \right. $$으로 초기화한다.

2) 해밀토니안 조작을 통해 $$H_{\text{control}}\left( t_{0} \right)$$을 합당한 시간동안 센서 시스템에 주입시켜, 시간 변화 유니타리 연산(unitary operation)이 수행되어 원하는 양자 상태로 준비한다. 즉, $$\left| \left. \psi_{0} \right\rangle \right.= U(t)\left| \left. 0 \right\rangle \right. .$$

3) 원자 센서를 특정 시간 $$t$$동안 측정하도록 킨다. 이에 따라 센싱 해밀토니안 $$H_{V}(t)$$에 의한 시간 변화 유니타리 연산이 수행되며 센서의 상태는 $$\left| \left. \psi(t) \right\rangle \right.= c_{0}\left| \left. \psi_{0} \right\rangle \right. + c_{1}\left| \left. \psi_{1} \right\rangle \right. $$ 이 된다.

4) 2)번에서 수행한 유니타리 연산($$U(t)$$)을 역으로 되돌려, 즉 $$\left| 0 \right\rangle= U^{\dagger}(t)\left| \psi_{0} \right\rangle$$ 그리고 $$\left| 1 \right\rangle =U^{\dagger}(t)\left| \psi_{1} \right\rangle$$로 되돌려준다. 그러면, $$U^{\dagger}(t)\left| \left. \psi(t) \right\rangle \right.= c_{0}^{'}\left| \left. 0 \right\rangle \right. + c_{1}^{'}\left| \left. 1 \right\rangle \right. $$ 상태가 된다.

5) 측정기저 $$\left| 0 \right\rangle$$또는 $$\left| 1 \right\rangle$$로 측정을 수행하고 그 결과를 기록한다.

6) 1)~5)을 N번 반복하여 베르누이 과정을 통해 전이 확률을 추정할 수 있다.

7) 시간에 따른 전이 확률을 통해 원하는 신호를 추론할 수 있다.

양자 센서는 다음 4가지 조건을 만족해야 한다. 1)

에너지 준위 변화를 이용한 양자 계측

측정 센서로 사용되는 이준위 원자 시스템(two-level atomic system)의 경우 사용되는 원자 시스템에 따라 외부 환경에 의해서 변화되는 자기장, 전기장, 압력, 온도 등의 물리량에 따라 에너지 준위가 변화하게 된다. 원자 시스템에서는 큐비트 제어를 위하여 에너지 준위에 해당하는 공명 주파수의 전자기파 신호를 사용하게 되는데, 이 값을 정확하게 측정하기 위하여서 광측정 자기공명(optically detected magnatic resonance) 나 전기 공명 측정 등이 필요하다. 결국 외부 물리량에 의하여 공명 주파수 값이 변화하는 것을 광측정이나 전압 측정을 통하여 알아낼 수 있다. 예를 들어서 광측정 자기공명 경우 외부 자기장에 변화에 따른 제이만 효과(Zeeman effect)에 의하여 공명 주파수에서의 원자로부터 방출되는 광자의 양이 변하게 되는데 광량의 변화를 측정함으로 에너지 준위의 변화를 측정할 수 있다. 고체 시스템 원자 센서를 이용한 측정과 같은 경우 원자의 스핀 방향이 고정되어 있어 측정하고자 하는 물리량을 고정된 스핀 방향에 투영시켜 특성 벡터 성분의 물리량만 선택적으로 측정하거나, 물리량의 삼차원 벡터 성분을 재건시킬 수 있다. 에너지 준위 변화를 이용한 양자 계측은 시간에 따라 변화하는 물리량도 측정이 가능하나, 주로 시간에 따라 고정되어있는 물리량을 측정하기에 더 유리하고, 측정 프로토콜이 양자 위상을 이용한 계측보다 쉽다(robust)는 장점이 있다. 하지만 대체적으로 양자 위상을 이용한 방법보다 측정이 정교하지 못하고, 그로 인해 측정 민감도가 떨어진다는 단점이 있다.

양자 위상(quantum phase)을 이용한 양자계측

직류(DC) 성분의 양자계측 (Ramsey interferometry)

시간에 따라 변화하지 않는 물리량 계측의 경우 직류 성분의 양자 위상 계측 방법을 사용한다. 대표적으로 람지 간섭 (Ramsey interferometry)를 사용하는데, 원자 센서의 양자 상태를 중첩 상태(superposition state)로 준비하고 외부 물리량에 따른 두 준위의 양자 위상의 간섭을 측정함으로 물리량의 세기를 도출해 낼 수 있다. 람지 측정은 다음과 같은 프로토콜을 따른다. 1) 먼저 양자 센서를 초기화 한다. 2) $$\frac{\pi}{2}$$ 나 하다마드 게이트(Hadamard gate) pulse를 가해서 양자 상태를 중첩 상태로 준비한다. 3) t초 동안 외부 측정 물리량에 해당하는 포텐셜 $$H_{V}$$ 해밀토니안을 가한다. 4) 다시 $$\frac{\pi}{2}$$ 또는 하다마드 게이트를 가한다. 5) 마지막으로 측정을 한다. 이 때 전이 확률은 $$p= \frac{1}{2}\left\lbrack 1 - \cos\left( w_{0}t \right) \right\rbrack$$이다. 외부 물리량 해밀토니안을 가해주는 시간을 변화시켜가면서 반복하여 전이 확률을 측정하게되면 역으로 두 상태의 에너지 차이인 $$w_{0}$$를 알 수 있다.

위의 과정을 이용하면 외부의 신호를 측정할 수 있다. 외부 신호 검출은 전이 확률의 변화를 통해 이루어진다. 그림 1은 전이 확률과 포텐셜 변화이 보이는 관계의 예시이다. 확률 변화가 가장 크게 일어나는 곳은 전이 확률이 0.5일 때이므로 이 때를 기준으로 잡아 전이 확률의 변화량을 측정함으로써 포텐셜의 변화량을 측정할 수 있으며 이 경우를 경사 측정이라 한다. 다음은 포텐셜 변화량 $$\delta V$$에 따른 전이 확률 변화 $$\delta p$$에 대한 식이다.

\[\delta p= - \frac{1}{2}\cos\left( w_{0}t + \text{γδ}\text{Vt} \right) \sim \frac{1}{2}\text{γδ}\text{Vt}\]

하지만 포텐셜이 주기적으로 또는 랜덤하게 변해서 변화량의 평균이 0이라면 경사 측정으로는 구별할 수 없을 것이다. 이 경우에는 분산 측정을 이용해야 한다. 분산 측정의 경우 그림 2와 같이 기울기가 0에 가까운 점에서 평균값을 구한다. 그러면 전이 확률의 차이는 0이 되지 않는다. 또한 전이 확률이 0 근처에서 전이 확률은 포텐셜의 제곱에 비례하므로 $$\left\langle \delta V^{2} \right\rangle= V_{\text{rms}}^{2}$$ 를 이용하면 전이 확률이 0인 점을 기준으로 $$V_{\text{rms}}$$를 얻을 수 있을 것이다.

\[\delta p= \left\langle \frac{1}{2}\left( 1 - \cos\left( w_{0}t + \gamma\delta Vt \right) \right) \right\rangle \sim \frac{1}{4}\gamma^{2}V_{\text{rms}}^{2}t^{2}\]

그림 1. 외부 포텐셜과 전이 확률의 모식도. 빨간색 점은 전이 확률 0.5에서 경사 측정시 $$\text{δp}$$의 값을 보여주며 파란색 점은 전이 확률 0에서 분산 측정시 $$\text{δp}$$의 값을 보여준다.

교류(AC) 성분의 양자계측 (dynamical decoupling)

지금까지는 시간 변화가 없는 정적인 신호에 대한 측정이었지만 시간에 의존적인 신호 역시 측정할 수 있다. 신호가 아래와 같은 신호라 가정하겠다. 이러한 신호의 측정은 람지 위상이라는 것을 이용해 측정한다.

\[V\left( t^{'} \right)= V_{\text{pk}}\cos\left( 2\pi f_{\text{ac}}t^{'} + \alpha \right)\]

\[ \phi= \int_{0}^{t}{\gamma V(t')dt'} \]

람지 측정의 경우 느리게 변화하는 경우 람지 위상 정보가 남아 있을 수 있다. 하지만 빠르게 변화하는 신호의 경우 위상이 상쇄 간섭에 의해 평균을 취하면 위상 정보가 0에 가까워진다. 또는 측정시간동안 진동의 주기만큼 지난다면 람지 위상은 0이 될 것이다. 다른 시도로는 람지 측정 도중에 $$\pi$$펄스파를 넣어보는 것이다. 그림 3 (b) 과 같이 $$\pi$$ 펄스파를 측정 시간의 정중앙에 두는 과정을 스핀 에코 시퀀스라 하며, 이 경우에는 람지 위상은 $$\phi= \frac{2}{\pi}\gamma V_{\text{pk}}t\cos\alpha$$ 이다. 여기서 아이디어를 착안하여 다중 펄스를 이용하면 더 많은 정보를 알아낼 수 있다. 다중 펄스를 이용했을 때 람지 위상은 다음과 같이 표현할 수 있다. 이 때 $$W$$는 펄스의 배치에 따라 바뀌는 가중치함수이다.

\[\phi= \gamma V_{\text{pk}}tW(f_{\text{ac}},\alpha)\]

다중 펄스 시퀀스의 대표적인 예는 CP(Carr-Purcell)학습과 PDD(Periodic Dynamic Decoupling)이다. CP학습은 그림 3 (c) 과 같이 같이 $$t_{j}= \frac{2j - 1}{2}$$에 펄스파를 두는 방법이고 PDD 방식은 그림 3 (d) 과 같이 $$t_{j} =\text{jτ}$$에 펄스파를 두는 방법이다. 이 두가지 방법의 장점은 파라미터를 조정할 수 있다는 점이다. 또한 신호의 주파수, 결어긋남, $$T_{1}$$, $$T_{2}$$ 이완 등 다양한 정보를 얻을 수 있다. 이 때 전이 확률을 구하면 아래와 같다.

\[p= \frac{1}{2}\lbrack 1 - cos(\frac{\gamma V_{\text{pk}}t\cos\alpha}{\text{kπ}} )\rbrack\]

그림 3. (a) 람지 측정의 펄스 시퀀스. (b) 스핀 에코의 펄스 시퀀스 (c) CP학습의 펄스 시퀀스 (d) PDD의 펄스 시퀀스.

측정 잡음 (Noise)

측정 값에는 항상 잡음이 발생할 수 있기 때문에 시스템에서 발생할 수 있는 잡음이 무엇이 있는지 아는 것은 중요하다. 또한 궁극적으로 잡음 정보를 통해 SNR (Signal to Noise Ratio)과 이를 통해 시스템의 민감도를 정량적으로 표현하는 최소 측정 가능한 신호를 구할 수 있을 것이다. 다음은 발생할 수 있는 네 가지 대표적인 잡음 발생 요인들이다.

- 양자 투영 잡음(quantum projection noise). 보통 양자 시스템은 전이 확률을 구할 때 N번 반복하여 통계를 낸다. 이때 통계를 내는 과정에서 표본 개수 N이 무한이 아닌 유한이기 때문에 통계 요동(statistical fluctuation)이 발생하고 이에 따라 잡음이 뒤따라온다. 이항 분포에 따르면 분산 $$\sigma^{2}= \frac{1}{N}p(1 - p)$$ 만큼의 통계적인 노이즈가 발생한다. 예를 들어 람지 선형 측정에서는 $$p =0.5$$이기에 $$\sigma^{2}= \frac{1}{4N}$$ 만큼의 노이즈가 발생한다.

- 측정 시간 동안 발생하는 결어긋남(decoherence). 결어긋남은 무작위로 위상과 상태를 변화시킴으로써 잡음이 생성된다. 따라서 이전에 측정했던 전이 시간 차이가 시간에 따라 지수적으로 감소한다.

\[\delta p_{\text{obs}}= \delta p(t)e^{- \chi(t)}\]

- 큐비트 조작 잡음. 완벽한 양자 상태 초기화와 큐비트 조작이 어렵기 때문에 발생할 수 있는 노이즈이다. 하지만 결어긋남과는 다르게 측정시간에는 무관하다는 특징을 가진다.

\[\delta p_{\text{obs}}= \beta\delta p\]

- 측정 도중 발생하는 오류. 결과값에 측정된 잡음에 따라 크게 단일샷 방법과 평균 측정 방법이 있다. 단일샷 방법은 측정값이 두 값으로 구분할 수 있을 만큼 각각 몰려 있어 기준 값을 잡아 결과값을 구분 지을 수 있다. 하지만 이상적인 경우와 비교했을 때 여전히 측정 분포에서 겹치는 부분이 생길 수 있어 이에 따른 잡음이 발생할 수 있다. $$\kappa_{i}$$는 기준값을 잡아 측정했을 때 부분적으로 포함되지 않는 영역을 의미한다.

\[\sigma_{\text{read}}^{2}= \frac{1}{N}\lbrack\kappa_{0}\left( 1 - \kappa_{0} \right)p + \kappa_{1}(1 - \kappa_{1})(1 - p)\rbrack\]

\[\sigma_{\text{read}}^{2}\sim\frac{\kappa}{N}\]

\[p= \frac{x - x_{|0 >}}{x_{|1 >} - x_{|0 >}}\]

\[\sigma_{\text{read}}^{2}= \frac{R^{2}}{4N}, R =\frac{2\sqrt{N}\sigma_{x}}{|x_{|1 >} - x_{|0 >}|}\]

그림 2. (a) 이상적인 측정인 경우 두 값만이 히스토그램에 나타난다. (b) 싱글샷을 사용하는 경우 기준값 부근에 겹치는 영역이 노이즈가 된다. (c) 첨두치가 하나가 나오는 경우 평균측정법을 이용해 전이확률을 구한다.

민감도 (Sensitivity)

시스템의 민감도란 특정 SNR을 갖는 특정 출력 신호를 생성하는데 필요한 최소 입력 신호를 의미한다. 양자 센싱에서 SNR(Signal to Noise Ratio)는 아래와 같이 정의되며 노이즈에서 얻었던 값을 대입해보면 다음과 같다.

\[SNR= \frac{\delta p_{\text{obs}}}{\sigma} =\delta p(t)e^{- \chi(t)}2C\sqrt{N}\]

람지 측정의 결과를 보면 $$\delta p= \left( \gamma\text{δV}_{\text{rms}} \right)^{q}$$이며 $$q$$에 따라 경사 측정, 분산 측정이 나눠진다. 또한 측정 횟수를 의미하는 $$N$$은 전체 시간 $$T$$에서 측정과 준비를 포함한 시간으로 나눈 것이므로 $$\frac{T}{t + t_{m}}$$과 같다. 이를 종합해 보면 아래와 같다.

\[SNR= \left( \text{γtδV} \right)^{q}e^{- \chi(t)}2C\sqrt{\frac{T}{t + t_{m}}}\]

$$ T= 1$$초동안 단위 SNR에서 최소 측정 가능한 신호는 아래와 같이 쓸 수 있다.

\[v_{\min}^{q} \propto \frac{e^{\chi(t)}\sqrt{t + t_{m}}}{2C(t_{m})\gamma^{q}t^{q}}\]

이 결과를 통해 민감도가 좋은 센서는 다음 조건을 만족해야 한다. 측정 시간은 길수록 좋지만 $$e^{\chi(t)}$$값이 급격히 증가하는 값인 $$e^{\chi(t)}$$의 시간 상수 보다 커지면 안된다. 둘째로 측정 효율 $$C(t_{m})$$은 측정 시간($$t_{m}$$)과 연관되며 측정 효율에 따라 최적의 측정시간을 정할 수 있다. 마지막으로 측정 효율은 실험을 최적화하거나 다른 양자 센싱에 따라 증가될 수 있다.